윤곽 통합 $\frac{\csc(a x) \sin(a x m)}{\cosh(x) \exp(x)}$

Aug 17 2020

통합하고 싶습니다 $\int_0^{\infty}\frac{\csc(a x) \sin(a x m)}{\cosh(x) \exp(x)}\mathrm{d}x$ 어디 $m$ 정수입니다.

둘 다 진짜 특이점이있는 것 같습니다 $x = \frac{n\pi}{a}$ 그리고 상상의 $x = \frac{\pi}{2 I} +I \pi n$.

이것은 윤곽 통합 이 갈 길임 을 암시하는 것 같습니다 .

이제 여기서 어떻게 진행해야할지 모르겠습니다.

답변

1 metamorphy Aug 17 2020 at 13:26

에 대한 $m>0$, $\displaystyle\frac{\sin axm}{\sin ax}=\sum_{k=0}^{m-1}\cos(m-1-2k)ax$, 그래서 주어진 적분은 다음과 같은 것들의 합입니다. $$\int_0^\infty\frac{\cos bx}{1+e^{ax}}\,dx=\frac{1}{2a}\left[f\left(\frac{ib}{a}\right)+f\left(-\frac{ib}{a}\right)\right]\tag{*}\label{mainint}$$ 어디서, 단지 $z$$\Re z>-1$, $$f(z)=\int_0^\infty\frac{e^{-zx}}{1+e^x}\,dx\underset{e^{-x}=t}{=}\int_0^1\frac{t^z\,dt}{1+t}=\int_0^1\frac{t^z-t^{z+1}}{1-t^2}\,dt\\\underset{t^2=x}{=}\frac12\int_0^1\frac{x^{(z-1)/2}-x^{z/2}}{1-x}\,dx=\frac12\left[\psi\left(1+\frac{z}{2}\right)-\psi\left(\frac{1+z}{2}\right)\right],$$$\psi$디 감마 함수 (당신이 일을 끝낼 같은 최종 평등가 표시됩니다 여기 ). 코사인 대신 사인이 있다면$\eqref{mainint}$, $\psi$의 반사 공식 때문에 감소 할 것 입니다. 코사인이 제자리에 있으면 최종 결과뿐만 아니라 그렇지 않습니다. 그렇기 때문에 윤곽 통합이 유용한 결과를 얻을 것이라고 기대하지 않습니다 .