유사 컴팩트 공간의 연속 이미지가 경계에 도달합니까?

Question

허락하다 $X$ 위상 공간 및 연속 기능 $f:X\to \mathbb R$ 즉 경계가 있습니다. $X$ 은 가상의 콤팩트 토폴로지 공간입니다. $X$ 그것의 최고와 최저에 도달합니까? 그렇지 않다면 누군가 나에게 반례를 줄 수 있습니까?

분명히 $X$ 콤팩트하고 $f(X)$ 콤팩트하므로 $f$ 경계가 있고 경계에 도달합니다. 그러나 우리는 공백을 찾을 수 있습니다 $X$ 이것은 의사 압축이지만 아직 압축되지 않았습니다.이 경우이 인수는 실패합니다. 따라서 위에서 언급 한 예제를 검색하게됩니다.

Answer 1

만약 $X$ pseudocompact이고 $f: X \to Y$ 연속적이고 $Y$ 또한 pseudocompact입니다 ( $g: Y \to \Bbb R$ 연속적입니다. $g \circ f$ 계속된다 $X$ ...에 $\Bbb R$ 너무 제한되어 있으므로 $g$).

그래서 만약 $X$ 가짜이며 $f: X \to \Bbb R$ 연속적입니다. $f[X]$ 의 pseudocompact 부분 공간 $\Bbb R$. 그러나 미터법 공간의 경우 의사 압축성과 압축성은 동일합니다. 그래서$f[X]$ 콤팩트하다 $\Bbb R$ 그래서 최대와 최소가 있습니다. $f$ 경계에 도달합니다.

직접 증명 아이디어 : if $f[X]$ 닫히지 않았고 $p \in \overline{f[X]}\setminus f[X]$,지도 고려 $g: X \to \Bbb R$ 정의 $\frac{1}{|p-f(x)|}$ 그런 다음 연속적이고 무한한 $X$. 그래서$f[X]$ 폐쇄되고 경계 $f[X]$ 말한다 $\sup f[X]$ 존재와 폐쇄성 $f[X]$ 암시 $\sup f[X] \in f[X]$ 기타