유사성 (독립) 벡터는 어떻게 $\mathbb R^n$ 공간에 배치?

Aug 15 2020

유한 벡터 세트를 고려하십시오. $\{v_i\}_i\subset\mathbb R^n$.

이 세트는 다음과 같은 경우 선형 적으로 독립적입니다. $\sum_k \alpha_k v_k=0$ 암시 $\alpha_k=0$. 기하학적으로, 나는 벡터 세트가 원점을 통과하는 초평면에 포함되어 있음을 나타내는 선형 의존성을 이해합니다.

반면에 우리는 $\{v_i\}_i$다음과 같은 경우 유사하게 의존 합니다.$\sum_k \alpha_k v_k=0$ ...에 대한 $\alpha_k$모든 제로 그러한$\sum_k\alpha_k=0$. 세트를 시각화 할 때 비슷한 기하학적 직관이 있습니까?$\{v_i\}_i$ 친화 의존적 / 독립적입니까?

답변

2 LeeMosher Aug 15 2020 at 20:33

선형 (독립) 종속성의 특성화가 정확하지 않습니다. 모든 벡터 세트는 원점, 즉 범위를 통해 일종의 초평면에 포함됩니다.

대신, 유한 벡터 세트는 차원이 세트의 벡터 수보다 작은 원점을 통해 초평면에 놓이면 선형 적으로 종속적이라고 말할 수 있습니다.

그리고 비슷한 맥락에서, $\mathbb R^n$차원이 집합의 점 수 에서 1을 뺀 값 보다 작은 초평면에있는 경우 유사하게 종속됩니다 . 따라서 선에있는 3 개의 서로 다른 점은 유사하게 종속되지만 선에있는 2 개의 서로 다른 점은 유사하게 독립적입니다.

아핀 독립성에 대한 또 다른 멋진 기하학적 그림이 있습니다.

  • 한 쌍의 점은 선분의 끝점 집합 인 경우 유사하게 독립적입니다 (해당 쌍의 두 점이 같지 않은 경우에만 발생).
  • 삼각형의 꼭지점 집합 인 경우 점의 트리플은 유사하게 독립적입니다.
  • 4 면체의 꼭지점 집합 인 경우 4 중 점은 유사하게 독립적입니다.
  • $k$-튜플 포인트는 정점 세트 인 경우 유사하게 독립적입니다. $k-1$차원 단면 .
1 JohnHughes Aug 15 2020 at 18:49

@ runway44가 말했듯이, 유사 종속은 "모두 초평면에 있음"을 의미하지만, 원점을 포함하지 않는 초평면 일 수 있습니다. 이것을 빨리 보려면$k+1$ 벡터 $$ v_0, v_1 \ldots, v_k $$$$ \sum a_i v_i = 0, \sum a_i = 1 $$ 빼기 $v_0$ 각각에서 $v_1, \ldots, v_k$ 얻기 위해 $w_1, \ldots, w_k$.

그런 다음 벡터 $w_k$모두 원점을 통과하는 평행 초평면에 있습니다. (이것을 스스로 확립하기 위해 대수를 할 가치가 있습니다).

또는 좀 더 고전적인 형태로 표현하려면 $v_0$ 새로운 좌표계의 원점으로 나머지는 $v_i$ 벡터는 모두 초평면에 있습니다.