Z | Y ~ Bin (p, y) 및 Y ~ Poisson (L)이면 Z ~ Poisson (p * L)? [복제]
이전에이 질문에 대한 답변이 있는지 확인했지만 표기법 때문에보기 힘들다. 다음 두 RV를 정의하는 논문을 읽고 있습니다.$$ z \mid y \sim Binomial(\pi, y) \\ y \sim Poisson(\lambda) $$ 그런 다음 (통합 및 Bayes 규칙에 의해) $$ z \sim Poisson(\pi \cdot \lambda) \\ y - z \sim Poisson( (1 - \pi)\cdot \lambda) $$
종이로 작업 해 보았지만 훈련 된 통계학자가 아니기 때문에 내가 어디로 잘못 가고 있는지 잘 모르겠습니다. 내가 파생하고 싶다면$z \sim Poisson(\pi\lambda)$, 그런 다음 조건부 확률을 사용합니다. $$ p(z) = \int_y p(z, y) \,\, dy $$ 어디 $p(z, y)$공동 확률입니다. 이것을 확장하면$$p(z) = \int_y {y\choose z} \pi^z (1 - \pi)^{(y - z)} \frac{e^\lambda \lambda^y}{y!} \, \, dy $$ 그러나 나는 어떻게 든 다음 방정식을 얻어야한다고 생각합니다 $$p(z) = \frac{e^{\pi\lambda} (\pi\lambda)^{z}}{z!}$$하지만이 형태를 얻기 위해 위의 적분을 조작 할 수 없었습니다. 그것이 가능한지 확실하지 않습니다.
답변
이것은 상당히 표준적인 분포 이론을 따릅니다. 밝히다$Y_1 \sim \text{Poisson}(\pi \lambda)$ 과 $Y_2 \sim \text{Poisson}((1-\pi) \lambda)$ 독립적으로, $Y = Y_1 + Y_2$ 과 $Z = Y_1$. 그러면 다음 사실이 빠르게 도출됩니다.
$Y \sim \text{Poisson}(\lambda)$ (모멘트 생성 기능을 계산하여 확인할 수 있습니다.)
$[Z \mid Y = y] \sim \text{Binomial}(\pi, y)$ 독립성을 사용하면
$$ f(z \mid y) = \frac{\Pr(Y_1 = z, Y_2 = y - z)}{\Pr(Y = y)} = \binom{y}{z} \pi^z (1 - \pi)^{y-z} $$
- 정의상 사실입니다. $Y - Z = Y_2 \sim \text{Poisson}((1-\pi) \lambda)$ 그리고 그 $Z = Y_1 \sim \text{Poisson}(\pi \lambda)$, 원하는 결과입니다.
따라서,이 존재 $Z$ 과 $Y$ 당신이 원하는 속성으로, 그러나 공동 분포는 당신의 조건에 의해 고유하게 특성화되기 때문에 $(Z,Y)$이것은 모두에게 사실임을 $Z$ 과 $Y$ 당신의 조건을 만족시킵니다.
약간의 대수이지만 여기에 내 시도가 있습니다.
관련되지 않은 용어를 뽑은 후 밀도의 표현 $y$ 아르
$$ p(z) = \pi^z \exp(\lambda) \sum_{z \leq y} \binom{y}{z} (1-\pi)^{y-z} \dfrac{\lambda^y}{y!}$$
그만큼 $y!$ 이항 계수에서 취소
$$ = \pi^z \dfrac{\exp(\lambda)}{z!} \sum_{{z \leq y}} (1-\pi)^{y-z} \dfrac{\lambda^y}{(y-z)!}$$
그리고 인덱스는 $0\leq y-z$, 다음 $k=y-z$
$$ = \pi^z \dfrac{\exp(\lambda)}{z!} \sum_{k} (1-\pi)^{k} \dfrac{\lambda^{k+z}}{(k)!}$$
더 단순화
$$ = (\lambda\pi)^z \dfrac{\exp(\lambda)}{z!} \sum_{k} (1-\pi)^{k} \dfrac{\lambda^{k}}{(k)!}$$
합계가 다음에 대한 표현임을 알 수 있습니다. $\exp(\lambda - \lambda \pi)$
그래서 우리는
$$ p(z) = (\lambda \pi)^z \dfrac{\exp(-\pi\lambda)}{z!}$$
내가 믿는 것은
$$z \sim \operatorname{Poisson}(\pi \lambda)$$
얻기 위해 $E(Z)$ 과 $Var(Z),$이것은 랜덤 변수의 랜덤 합계로 볼 수 있습니다. 특히,$Z$ 난수의 합 $Y$ 성공 확률이있는 베르누이 확률 변수의 $\pi.$
여기에 100,000 개의 시뮬레이션 된 실현 히스토그램이 있습니다. $Z,$ 사용 $\lambda = 20, \pi = 0.4$ 정확한 확률 (빨간색 원의 중심)과 함께 $\mathsf{Pois}(8).$
set.seed(2020)
lam = 20; pp = 0.4
y = rpois(10^5, lam)
z = rbinom(10^5, y, pp)
summary(z)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.000 6.000 8.000 8.001 10.000 22.000
mx = max(z); cutp = (-1:mx)+.5
hdr = "Histogram of Simulated Z with Density of POIS(8)"
hist(z, prob=T, br=cutp, col="skyblue2", main=hdr)
points(0:mx, dpois(0:mx, pp*lam), col="red")
참고 : (1) @aleshing은 불연속성 때문에 적분을 합계로 처리해야한다는 것입니다.
(2)에서 R 코드 : 사용할 수 없습니다 pi에 대한$\pi$그것은 R. 만약에 예약 된 일정이 있기 때문에 y반환에 발생$0,$ rbinom 반환하도록 프로그래밍되어 있습니다. $0.$
(3) 관심이있는 경우 : 랜덤 변수의 랜덤 합계에 대한 UNL 코스 유인물 .