Grau de extensão de um corpo por um elemento transcendental

Aug 18 2020

Deixar$F$seja um campo, e deixe$F(x)$ser o corpo de frações do anel polinomial$F[x]$. Estou interessado no grau da extensão de campo$[F(x) : F]$. Obviamente é infinito, mas qual é exatamente sua cardinalidade? É isso$\aleph_0$? Depende do campo?$F$?

Respostas

6 reuns Aug 18 2020 at 00:05

O natural$F$-base de$F(x)$é$$\{ x^k, k\ge 0\} \cup \{ x^l/h^m, m\ge 1,l<\deg(h), h \in F[x]\text{ monic irreducible}\}$$Assim (para$F$infinito) a cardinalidade da base está compreendida entre a de$F$e$F[x]^2$, ou seja. é o mesmo que$F$.

RiversMcForge Aug 18 2020 at 03:23

Para qualquer campo infinito$F$,$F[x] = \oplus_{n \geq 0} F (x^n)$tem cardinalidade igual a$F$, e há um mapeamento sobrejetivo$F[x] \times (F[x])^* \rightarrow F(x)$dado por$(p(x), q(x)) \mapsto \frac{p(x)}{q(x)}$(Onde$(F[x])^* = F[x] \setminus \{ 0 \}$). Desde$F[x] \times (F[x])^*$tem cardinalidade igual a$F[x]$, segue o resultado.

Se$F$é finito,$F[x]$é infinitamente contável, e pela mesma lógica acima,$F(x)$também é infinitamente contável.