Verificando quando uma função real é contínua em um intervalo onde ela é monotônica [fechada]

Question

Eu estava revisando para o meu exame Real Analysis 1 e encontrei este teorema:

Deixar$f : I \to \mathbb R$seja uma função, onde$I\subseteq\mathbb R$é um intervalo. Suponha que$f$é monotônico em$I$, Então as afirmações seguintes são equivalentes:

• $f$é contínua em$I$
• $f(I)$é um intervalo

Estou quase terminando esse exame mas nunca usei essa equivalência na prática, minha dúvida é: você pode me dar alguns exemplos onde estudar a imagem de um intervalo é mais fácil ou mais útil do que verificar diretamente os limites da função, para saber quando uma função é contínua?

Answer 1

Uma maneira de mostrar que a função de Cantor é contínua é mostrando que ela é não decrescente e tem imagem$[0,1]$.