2 вопроса о кольце $\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$
Я не могу решить этот конкретный вопрос в теории колец. Об этом спросили на магистерском экзамене, к которому я готовлюсь.
Позволять $A =\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$ .
а) Докажите, что $A$ является прямым произведением двух областей целостности.
(б) Кольцо $A$ изоморфен $\mathbb Q[X]/(X^{3}+1)$?
Я могу знать по $X^{3}-1$ что теперь элементы будут $ax^2+bx+c$, $a,b,c$ принадлежащий $\mathbb{Q}$. Но я понятия не имею, из каких областей целостности будет образовано это кольцо.
Также для 2-го у меня возникают проблемы с определением карты как $X^3$будет действовать как -1 во 2-м кольце. Я не думаю, что карта нравится$\phi( ax^2+bx+c )=px^2 +qx+r$ будет работать, поскольку эта карта не $1-1$.
Итак, может ли кто-нибудь сказать, как мне подойти к обеим этим проблемам.
Ответы
ПОДСКАЗКА :
(а) Используйте китайскую теорему об остатках , которая утверждает, что для кольца$A$ и идеалы $\mathfrak a,\mathfrak b$ из $A$ такой, что $\mathfrak a+\mathfrak b=(1)$, $A/\mathfrak{ab}\cong A/\mathfrak a\times A/\mathfrak b$. Кроме того, фактор-кольцо$\mathbb Q[X]/(f(X))$ является областью целостности тогда и только тогда, когда $(f(X))$ является простым идеалом тогда и только тогда, когда $f(X)$ неприводимо (поскольку $\mathbb Q[X]$ является PID).
(б) Я требую $\mathbb Q[X]/(X^3+1)\to\mathbb Q[X]/(X^3-1):X\mapsto-X$является изоморфизмом. Убедитесь, что все аксиомы верны.
(а) Как заявил Кента С., поскольку $1=(x^2-x+1)+x(x-1)$ и $(x^2-x+1)(x-1)=x^3-1$, у нас есть $\langle x^2-x+1\rangle+\langle x-1\rangle=\mathbb Q[x]$ и так $\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$по китайской теореме об остатках. Ясно,$x^2-x+1$ и $x-1$неприводимы. Следовательно,$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle$ и $\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$ являются доменами.
(б) Очевидно, $\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q\cong\mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle$. Также,$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle$ от $x\to -x$. Следовательно,$\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^3+1\rangle$.