$(a+1)(b+1)(c+1)\leq4$ для сторон треугольника $a,b,c$ с участием $ab+bc+ac=1$

Question

При условии $a,b,c$ - длины трех сторон треугольника, а $ab+bc+ac=1$, вопрос в том, чтобы доказать $$(a+1)(b+1)(c+1)\leq4\,.$$

Любая идея или подсказка будут оценены.

Это Задача 6 первого раунда BMO (Британской математической олимпиады) 2010/2011, как можно увидеть здесь .

Замечание. На этот вопрос был дан ответ . Тем не менее, любой новый подход всегда приветствуется!

Answer 1

Подсказка: расширение LHS дает нам$(a+1)(b+1)(c+1)=a+b+c+ab+bc+ca+abc+1.$

Сейчас же, $(1-a)(1-b)(1-c)=1+ab+bc+ca-a-b-c-abc$.

Складывая обе идентичности, получаем $$\prod_{cyc}(1+a)+\prod_{cyc}(1-a)=4$$

Answer 2

Благодаря подсказке SarGe, теперь я знаю, как ее решить. Я публикую ниже остальную часть решения, следуя подсказке SarGe для дальнейшего использования.

Вопрос сводится к доказательству $(1-a)(1-b)(1-c)\ge0$. Предположим противное. Тогда либо$a,b,c\gt1$, или только один из $a,b,c$ больше 1 (скажем, это $a$). Первый случай невозможен, поскольку противоречит$ab+bc+ac=1$очевидно. В последнем случае, применяя неравенство треугольника,$b+c\gt a\gt1$, а потом $ab+bc+ac=a(b+c)+bc\gt1$что является противоречием. Таким образом, доказательство завершено.

Answer 3

Хорошо, сначала давайте расширим скобку

$(a+1)(b+1)(c+1)=abc+ab+ac+bc+a+b+c+1$.

Теперь мы знаем, что $ab+ac+bc=1$ так что нам действительно нужно $abc+a+b+c+1 \leq 3$ или $abc+a+b+c \leq{2}$.

поскольку $a,b$ и $c$ образуют стороны треугольника, мы знаем, что $a \leq b+c$ и $b \leq a+c$ и $c \leq a+b$.

Мне было трудно двигаться дальше, и я подумал, действительно ли результат верен, поэтому я провел мысленный эксперимент. Скажем$a,b$ и $c$ все равны $1/\sqrt{3}$. Это будет равносторонний треугольник и$ab+bc+ac=1/3+1/3+1/3=1$.

потом $(a+1)(b+1)(c+1)=abc+ab+ac+bc+a+b+c+1$знак равно

$1/3 \sqrt{3}+1/3+1/3+1/3+1/\sqrt{3}+1/\sqrt{3}+1/\sqrt{3}+1=$

$1/3\sqrt{3}+1+\sqrt{3}+1$.

Что должно быть $\leq{4}$

Iff $1/3\sqrt{3} +\sqrt{3} \leq2$

если только $1/3+3 \leq 2\sqrt{3}$. Что является правдой.

Возьмем еще один крайний случай: $a$ и $b$ прямо под $1$ и $c$ близко к $0$ тогда мы также можем иметь $ab+ac+bc=1$. Вот$(a+1)(b+1)(c+1)$ также будет чуть ниже $4$так что я считаю, что неравенство правильное. Я могу показать, что нам нужно$abc+a+b+c \leq{2}$но не знаю, как это сделать прямо сейчас. Я подумаю. Но мы еще не использовали неравенства треугольника, поэтому я подозреваю, что они необходимы.

Неспособность закончить это меня убивает :)

Answer 4

Нам нужно доказать $$abc+a+b+c\leq2$$ или $$(abc+(a+b+c)(ab+ac+bc))^2\leq4(ab+ac+bc)^3$$ или $$\prod_{cyc}(a(b+c-a)+bc)\geq0$$ и мы закончили!

Последний факторинг можно получить следующим образом.

Для $ab+ac+bc=a^2$ мы получаем: $$(abc+(a+b+c)(ab+ac+bc))^2=(abc+(a+b+c)a^2)^2=a^2(a^2+ab+ac+bc)^2=$$ $$=(ab+ac+bc)(2(ab+ac+bc))^2=4(ab+ac+bc)^3$$ и поскольку мы работаем с симметричными многочленами, мы получили необходимую факторизацию.