Арифметические прогрессии простых гауссовских чисел

Aug 21 2020

Данный $u\in\mathbb{C}$ и $v\in\mathbb{C}$ давайте рассмотрим следующую прогрессию: $$z_n=u+nv\;\;\;\;\;\;\;\;\;n\ge 0$$

Можно ли найти прогрессии $z_n$ генерировать гауссовские простые числа для произвольной длинной последовательности последовательных значений n?

Например, $z_n=-13-2i+n(3+i)$ генерирует гауссовские простые числа для всех значений $0\le n\le 8$ (изучите норму $|z_n|^2=10n^2-82n+173$):

Если нет, то известна ли прогрессия максимальной длины?

Большое спасибо.

Ответы

6 DavidLoeffler Aug 21 2020 at 03:03

Теорема Грина-Тао также показывает, что среди (рациональных) простых чисел есть сколь угодно длинные арифметические прогрессии, которые сравнимы с 3 по модулю 4. См., Например, этот вопрос МО Верна ли теорема Грина-Тао для простых чисел в пределах данной арифметической прогрессии? .

Поскольку любое рациональное простое число, равное 3 по модулю 4, является гауссовским простым числом, это показывает, что гауссовские простые числа содержат сколь угодно длинные арифметические прогрессии.

(Возможно, это несколько неудовлетворительный класс примеров. Я не знаю, существуют ли сколь угодно длинные арифметические прогрессии простых чисел в $\mathbf{Z}[i]$ которых нет в $\mathbf{Z}$ или же $i \mathbf{Z}$.)

2 ChristianElsholtz Aug 23 2020 at 00:39

Теорема Дао arxiv.org/abs/math/0501314 гласит: для любых конечных наборов точек$v_i \in \mathbb{Z}[i]$ их бесконечно много $a\in \mathbb{Z}[i],r\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ так что все $a+rv_i$являются гауссовскими простыми числами. Выбирая форму из двух параллельных линий, скажем$v_{1,j}=j,v_{2,j}=i+j,j\in \{1, \ldots,k\}$, показывает, что есть также длинные последовательности простых чисел Гаусса, не все на действительной прямой (что также отвечает на вопрос, оставленный открытым Дэвидом). Можно было взять и линии, скажем, под углом 45 градусов.