Явное нахождение следа системы
Учтите, что мы работаем с совместной системой, состоящей из системы A с базисом $|\alpha_j\rangle$ и система B с базисом $|\beta_j\rangle$.
В моих заметках оператор плотности обозначается следующим образом:
$$\space\space\rho = \sum_{j,k,l,m} \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle |\alpha_j\rangle |\beta_k\rangle \langle\alpha_l| \langle \beta_m|$$
при этом в моих заметках говорится, что $$ \rho_{jklm} = \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle $$
Они также формулируют следующие уравнения для следа A и следа B: $$\rho_\beta = Tr_\alpha(\rho) = \sum_{l,m}(\sum_{j} \rho_{j,l,j,m}) |\beta_l\rangle \langle\beta_m| $$
$$\rho_\alpha = Tr_\beta(\rho) = \sum_{j,k}(\sum_{l} \rho_{j,l,k,l}) |\alpha_j\rangle \langle\alpha_k| $$
Мой главный вопрос - как бы написать $\rho_{j,l,k,l}$ и $\rho_{j,l,j,m}$ явно, поскольку то, что я получаю, похоже, не согласуется с рабочим примером в моей книге, и поэтому я довольно смущен.
благодаря
Ответы
Ну, потому что если бы я сделал это сам, я бы написал это так: $\rho_{jlkl} =\langle \alpha_j|\langle \beta_l| \rho |\alpha_k\rangle |\beta_l\rangle $ Однако я не уверен, потому что рабочие примеры, которые я видел, предполагают следующее $\rho_{jlkl} =\langle \alpha_j|\langle \beta_l| \rho |\beta_l\rangle |\alpha_k\rangle $.
Похоже, вы неправильно понимаете идею тензорного произведения состояний, поэтому я кратко рассмотрю это. Позволять$\mathcal H_A$ и $\mathcal H_B$ - гильбертовы пространства, и пусть $\alpha \in \mathcal H_A$ и $\beta \in \mathcal H_B$. Тензорное произведение$\alpha$ и $\beta$ это упорядоченная пара $(\alpha,\beta)$ который имеет следующие свойства:
- $(\alpha,\beta+\gamma)=(\alpha,\beta)+(\alpha,\gamma)$ для всех $\alpha\in\mathcal H_A, \beta,\gamma \in \mathcal H_B$
- $(\alpha+\delta,\beta)=(\alpha,\beta)+(\delta,\beta)$ для всех $\alpha,\delta \in \mathcal H_A, \beta \in \mathcal H_B$
- $\lambda (\alpha,\beta) = (\lambda \alpha,\beta) = (\alpha,\lambda \beta)$ для всех $\lambda \in \mathbb C, \alpha\in\mathcal H_A, \beta \in \mathcal H_B$
Вместо того, чтобы писать $(\alpha,\beta)$ для тензорного произведения стандартно писать $\alpha \otimes \beta$.
Тензорное произведение гильбертовых пространств $\mathcal H_A$ и $\mathcal H_B$ пространство всех тензорных произведений вида $\alpha\otimes \beta$ с участием $\alpha\in\mathcal H_A$ и $\beta \in \mathcal H_B$, и все их линейные комбинации . Внутренний продукт на этом пространстве считается
$$\bigg< (\alpha,\beta), (\gamma,\delta)\bigg>_{\mathcal H_A\otimes \mathcal H_B} := \left<\alpha,\gamma\right>_{\mathcal H_A} \cdot \left<\mathcal \beta ,\mathcal \delta\right>_{\mathcal H_B}$$
Следовательно, элемент $\psi \in \mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$ может выглядеть как
$$\psi= \alpha\otimes \beta + 3\gamma \otimes \delta$$
Из определения ясно, что $\alpha$ и $\gamma$ принадлежать $\mathcal H_A$ в то время как $\beta$ и $\delta$ принадлежать $\mathcal H_B$. Опять же по стандартному соглашению мы повторно используем символ$\otimes$ и обозначим тензорное произведение гильбертовых пространств через $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$.
Если вы хотите работать с нотацией Дирака, вы можете написать что-нибудь вроде $|\psi\rangle = |\alpha\rangle \otimes |\beta \rangle$. Соответствующий бюстгальтер будет$\langle \psi| = \langle \alpha| \otimes \langle \beta |$. Если мы позволим$|\phi\rangle = |\gamma\rangle \otimes |\delta \rangle$, тогда
$$\langle \psi|\phi\rangle = \bigg(\langle \alpha| \otimes \langle \beta|\bigg) \bigg( |\gamma \rangle \otimes |\delta \rangle\bigg) = \langle \alpha|\gamma\rangle \cdot \langle \beta|\delta\rangle$$
Принято считать, что независимо от того, говорите ли вы о бюстгальтере или кетчике, первая величина в тензорном произведении принадлежит $\mathcal H_A$ (или его двойственное пространство), а второе принадлежит $\mathcal H_B$ (или его двойственное пространство).
При всем сказанном ваше выражение лица
$$\rho_{j,l,k,l} = \langle\alpha_j| \langle\beta_l |\rho |\beta_l\rangle |\alpha_k\rangle$$
для меня не имеет смысла, потому что тензорное произведение кет справа находится в неправильном порядке.
Прежде всего, следует отметить, что то, как вы понимаете $\rho_{ijk\ell}$это в первую очередь вопрос условности. При этом некоторые условности определенно более «естественны», чем другие.
Один из способов подумать об этом состоит в том, что компоненты матрицы $\rho$ в составном пространстве $\mathcal H\equiv \mathcal X\otimes\mathcal Y$не что иное, как компоненты матрицы в некотором пространстве. Если вы используете индексы$I,J$ маркировать элементы основы $\mathcal H$, вы можете записать компоненты матрицы как $$\rho_{I,J}\equiv \langle I|\rho|J\rangle, \qquad |I\rangle,|J\rangle\in\mathcal H.$$ Однако эти обозначения не учитывают двудольную структуру $\mathcal H$. Для этого мы видим, что всегда можно найти основу$\mathcal H$ который построен на основе $\mathcal X$ и $\mathcal Y$. Таким образом, мы можем пометить базовые элементы$\mathcal H$используя два индекса, обозначающих соответствующие базисные элементы$\mathcal X$ и $\mathcal Y$. Другими словами, мы можем написать$$\mathcal H = \mathrm{span}(\{|i,j\rangle\equiv|i\rangle\otimes|j\rangle : \quad |i\rangle\in\mathcal X, \,\,|j\rangle\in\mathcal Y\}).$$ Тогда вместо индекса $I$, мы используем пару индексов, скажем $(i,j)$. Матричные элементы$\rho$ тогда стать $$\rho_{(i,j),(k,\ell)} \equiv \langle i,j|\rho|k,\ell\rangle \equiv (\langle i|\otimes\langle j|)\rho(|k\rangle\otimes |\ell\rangle),$$где я включаю различные эквивалентные способы записи выражения. Обратите внимание, что я написал индексы «вход» и «выход»$\rho$ используя пары $(i,j)$ и $(k,\ell)$здесь, чтобы подчеркнуть различную роль индексов. Для краткости обычно этого не делают, а просто пишут$\rho_{ijk\ell}$ значить $\rho_{(i,j),(k,\ell)}$.
Теперь вы также можете решить использовать $\rho_{ijk\ell}$ иметь в виду что-то вроде $\langle \ell,j|\rho|k,i\rangle$. Хотя это было бы довольно неудобное обозначение.