Численное решение относительного гравитационного замедления времени индуцированных диполярных гравитационных полей
В гравитомагнетизме , приближение к общей теории относительности в пределе слабого поля, уравнения Эйнштейна упрощать в форму очень похожи на уравнения Максвелла. В этом поле традиционные гравитационные поля называются «гравитоэлектрическими» полями, и, изменяя их, можно индуцировать их эквивалент магнитному полю, гравитомагнитные поля. И наоборот, изменяющееся гравитомагнитное поле может индуцировать гравитоэлектрическое поле.
Важно отметить, что гравитационные поля, индуцированные гравитомагнитными полями, могут быть дипольными , с полюсами как притяжения, так и отталкивания. С учетом всего этого и с оговоркой, что, поскольку эти поля неконсервативны (силовые линии индуцированного гравитационного поля образуют замкнутые петли, похожие на индуцированное электрическое поле), обычные аргументы относительно ньютоновских потенциалов неприменимы:
Каково относительное гравитационное замедление времени наблюдателя, расположенного вертикально на 1 метр (на отталкивающей стороне) от центральной точки тора, создающего диполярное гравитационное поле 100 г относительно удаленного наблюдателя? В частности, поскольку поле является отталкивающим, заставит ли оно часы наблюдателя, расположенного близко к тору, тикать быстрее по сравнению с далеким наблюдателем?
Ответы
Предполагая, что мы работаем в приближении слабого поля, гравитационный потенциал должен иметь вид: $$P=\frac{n\cos(\theta)}{r^2}$$ Поле по вертикальной оси: $$g=\frac{2n}{r^3}$$ Чтобы найти значение n, мы используем тот факт, что g = 100 при r = 1. $$n=\frac{gr^3}{2}=\frac{100\cdot1^3}{2}=50$$ Гравитационное замедление времени зависит от гравитационного потенциала. $$t_d=e^{\frac{P}{c^2}}=e^{\frac{n\cos(\theta)}{c^2r^2}}=e^{\frac{50\cos(\theta)}{c^2r^2}}$$ Теперь, чтобы найти скорость, с которой время проходит в указанной точке. $$t_d=e^{\frac{50\cos(0)}{c^2\cdot1^2}}=e^{\frac{50}{c^2}}=e^{\frac{50}{299792458^2}}=e^{5.5632503\cdot10^{-16}}=1.0000000000000005563250280268093708358133869390635833174567871473...$$Как видите, время в этой точке течет немного быстрее, чем в бесконечно далекой точке. Учитывая, что потенциал$50\frac{m^2}{s^2}$, Я бы сказал, что здесь справедливо приближение слабого поля.