Что означает «из-за симметрии коэффициентов, если $x=r$ это ноль $x^4+x^3+x^2+x+1$ тогда $x=\frac1r$ тоже ноль »

Question

Я изучал этот ответ о факторинге $x^4+x^3+x^2+x+1$:

https://socratic.org/questions/how-do-you-factor-x-4-x-3-x-2-x-1

Автор говорит: «Более чистый алгебраический подход состоит в том, чтобы заметить, что из-за симметрии коэффициентов, если $x=r$ это ноль $x^4+x^3+x^2+x+1$ тогда $x= {1\over r}$ тоже ноль "

И в конце концов он пишет $x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)$

Вопрос $1$: В чем смысл симметрии коэффициентов?

Вопрос $2$: Можем ли мы сделать такой же подход для $x^4-x^3+x^2-x+1$? (Я спрашиваю, потому что это относится к моему другому вопросу: Проблема с факторингом$x^4-x^3+x^2-x+1$)

Answer 1

Список коэффициентов$$x^4+x^3+x^2+x+1$$является $(1,1,1,1,1)$, который является симметричным (если перевернуть его, то получится тот же список). Другими словами, это список типа$(a,b,c,b,a)$. И если$r(\ne0)$ это корень$$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a,\tag1$$тогда$$ar^4+br^3+cr^2+br+a=0,$$и поэтому$$a+\frac br+\frac c{r^2}+\frac b{r^3}+\frac a{r^4}=0$$тоже; другими словами,$\frac1r$ также является корнем $(1)$. Итак, если один из корней не$\pm1$ (которые являются единственными числами, равными собственным обратным), $(1)$можно записать как \ begin {multline} a (xr) \ left (x- \ frac1r \ right) (x-r ') \ left (x- \ frac1 {r'} \ right) = \\ = a \ left (x ^ 2- \ left (r + \ frac1r \ right) x + 1 \ right) \ left (x ^ 2- \ left (r '+ \ frac1 {r'} \ right) x + 1 \ right). \ конец {multline}

В частности, $x^4-x^3+x^2-x+1$ можно записать как$$(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)=x^4+(a+b)x^3+(ab+2)x^2+(a+b)x+1.$$Чтобы найти $a$ и $b$, решите систему$$\left\{\begin{array}{l}a+b=-1\\ab+2=1.\end{array}\right.$$

Answer 2

Чтобы ответить на исходный вопрос, процесс мышления выглядит следующим образом:

(1) Если $r$ это решение $x^4-x^3+x^2-x+1=0$, тогда $r^4-r^3+r^2-r+1=0$.

(2) Разделите обе стороны на $r^4$ Вы получаете $({1\over r})^4-({1\over r})^3+({1\over r})^2-({1\over r})+1=0$. Следовательно$1\over r$ тоже решение.

(3) Следовательно, если $(x-r)$ является множителем полинома, то $(x-{1\over r})$ тоже фактор.

(4) Следовательно, уравнение можно записать как $(x-r)(x-{1\over r})(x-s)(x-{1\over s})$

(5) Поэтому его можно записать как $(x+ax+1)(x+bx+1)$