Что происходит с фазой после коллапса волновой функции?
Предположим начальное квантовое состояние $\psi = a_1\phi_1 + a_2\phi_2 + ... + a_n\phi_n$, где $\phi_i$ - собственная функция с собственным значением $\lambda_i$некоторого оператора измерения. После измерения мы найдем систему в состоянии$\phi_i$ с вероятностью $|a_i|^2$.
Что происходит с фазой после измерения? Принцип, согласно которому немедленные последующие измерения всегда должны возвращать одно и то же значение, будет соблюдаться независимо от итоговой фазы. Мы можем найти систему в любом состоянии$b\phi_i$, пока $|b|^2=1$. Я уверен, что постулаты квантовой механики что-то уточняют по этому поводу, но мне не удалось найти ни одного текста, посвященного этому. Что должно$b$ быть?
Ответы
В квантовой механике состояния представлены лучами в гильбертовом пространстве, или, точнее говоря, пространство состояний - это проективное гильбертово пространство - например, для конечномерной системы пространство$H_n / \sim \ \cong \mathbb{C}P^{n-1}$, где для $u, v \in H_n$, $u \sim v$ если $u = \alpha w$ для некоторого ненулевого комплексного числа $\alpha$.
Теперь обычно мы предпочитаем работать с простым гильбертовым пространством, а не с проективным, выбирая частное всякий раз, когда это необходимо - просто потому, что в нашем распоряжении гораздо больше полезных инструментов при работе с гильбертовыми пространствами.
Однако вы всегда должны помнить, что реальное пространство состояний - это проективное гильбертово пространство, что означает, что утверждение «Мы можем найти систему в любом состоянии». $b\phi_i$ так долго как $|b|^2 = 1$"бессмысленно, потому что нет отдельных состояний $b\phi_i$- и не то чтобы все эти состояния "одинаковы" - настоящая причина в том, что есть только одно состояние$\phi_i$ в проективном гильбертовом пространстве.
Коллапс волновой функции - это всего лишь выдумка, которую мы используем, потому что было бы сложно описать измерения реалистично как запутывание наблюдателя с наблюдаемым объектом с декогеренцией.
Фаза в квантовой механике не наблюдается. Вы можете определить только фазу чего-то относительно чего-то другого. Фаза$b_1$состояния после того, как вы измерили, что система находится в состоянии 1, само по себе не имеет никакого значения. Вам нужно будет сравнить его с какой-либо другой фазой, например, с фазой$b_2$ системы, которая связана с человеком, который измерил ее как находящуюся в состоянии 2. Если бы вы могли сделать это, то было бы разумно сказать, например, что $\operatorname{arg}(b_2/b_1)$имеет некоторую ценность. Для этого вам нужно будет сделать что-то вроде измерения интерференции между человеком в состоянии 1 и человеком в состоянии 2. Но вся причина того, что коллапс является хорошим приближением, состоит в том, что декогеренция делает невозможным обнаружение такого рода интерференции. , так что человек 1 может перестать отслеживать существование другой возможности.
После измерения мы найдем систему в состоянии $\phi_i$ с вероятностью $|a_i|^2$.
Почти правильное конечное состояние $$a_i\phi_i,$$это просто результат применения оператора проекции. При желании мы можем нормализовать его до$$\frac{a_i}{|a_i|}\phi_i,$$но мы должны делать это только в том случае, если знаем, что не будем сравнивать или совмещать его с другими состояниями. Когда мы нормализуем его, мы делим его на действительное число, что не удаляет фазу. Общая фаза не важна, только если мы не планируем сравнивать / совмещать состояние с другими состояниями.
Один из способов увидеть, что конечное состояние - это $a_i\phi_i$или, если мы хотим, чтобы его нормализованный родственник с неповрежденной фазой, вообразить сначала, что все, кроме $i$th коэффициенты $a_j$равны 0 и учитывают общее состояние системы + устройства после измерения. По непрерывности сразу после измерения общее состояние точно такое же, как и сразу после измерения (в этом вопросе мы говорим о мгновенных коллапсах). Поэтому мы должны присвоить состояние после измерения системы также тем , что она сразу же перед измерением,$a_i\phi_i$. Все остальное было бы странным и ненужным шагом.
В общем случае, с ненулевыми другими коэффициентами, то же самое должно быть верно по линейности, потому что сворачивание состояния просто означает сохранение только одной из результирующих ветвей.