Что значит приравнять коэффициенты при одинаковых членах при решении для A и B в дробных долях?

Dec 27 2020

Я пытаюсь пройти через решение неполных дробей в книге Кембриджа за 10 год. Это концепция, которую они вводят заранее для студентов, которые хотят бросить вызов самим себе, и ее объяснение довольно легкое.

Например: 7 / (x + 2) (2x-3) = A / 2x-3 + B / x + 2. Я понимаю, как это сделать до такой степени, что я достигну 7 = x (A + 2B) + 2A − 3B. Оттуда я прочитал, что мне нужно сделать что-то, называемое «приравниванием коэффициентов». Коэффициенты рядом с одинаковыми членами должны быть равны, поэтому получается следующая система: A + 2B = 0 2A − 3B = 7.

Но я не понимаю, ПОЧЕМУ и почему мы устанавливаем эти значения для этих частей уравнения. Почему бы, например, не A + 2B = 7 2A − 3B = 0. Я пробовал смотреть на YouTube и спрашивать друзей, но, кажется, не могу понять это.

Я могу это сделать, и я могу решить для A и B, используя этот метод. Но я действительно изо всех сил пытаюсь понять, что я делаю на этом этапе процесса. Когда я смотрю на это, постоянно всплывает фраза: «мы можем приравнять коэффициенты подобных терминов». Например, на странице википедии о дробном разложении говорится: «Приравнивание коэффициентов при x и постоянных (относительно x) коэффициентов обеих сторон этого уравнения ...». Второй пример: на странице emathhelp, когда я ввожу уравнение 7 / (x + 2) (2x-3), говорится: «Коэффициенты рядом с одинаковыми членами должны быть равны, поэтому получается следующая система:» .

Ответы

1 ChubbyChef Dec 27 2020 at 21:34

Я думаю, вы немного запутались в шагах в этой проблеме. Обратите внимание, что после того, как вы умножили обе стороны на знаменатель, вам нужно попытаться решить полученное уравнение, в данном случае$$7 = x(A+2B) + 2A - 3B.$$ Как термы коэффициентов при одинаковых степенях$x$. Заметьте, что$7 = 0x + 7$. Теперь вы видите сходство? Было$(A+2B)$было что угодно, но не $0$, у вас будет ненулевой $ax$член в левой части уравнения выше. Та же логика применима к$(2A-3B)$.

Так что на самом деле ты получаешь $$A+2B = 0 \\ 2A - 3B = 7$$ что при одновременном решении дает $A= 2$, $B = -1$.

YvesDaoust Dec 27 2020 at 21:25

Предположим, вы работали с

$$ax+b=3x+2.$$

Мы имеем в виду, что это верно для любого $x$. Так, в частности, мы могли бы написать

$$x=0\to b=2,\\x=1\to a+b=5,\\ x=-1\to -a+b=-1,\\ x=2\to 2a+b=8,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x=5000\to 5000a+b=1502,\\\cdots$$

Это система двух неизвестных и бесконечного множества уравнений. Но оказывается, что если вы решите минимальное количество уравнений (с первыми двумя,$a=3, b=2$) решение действительно для всех уравнений, поскольку символьные выражения полностью эквивалентны.

То же самое верно для рациональных дробей или любого вида идентификации.