Делает $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} e^{-\alpha x}dx$ сходятся равномерно?

Question

Делает $$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} e^{-\alpha x}dx \hspace{0.1cm}, \alpha \in ]0,\infty[$$ сходятся равномерно?

Используя тест Дирихле :

1. $\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx = \pi/2$
2. $e^{-\alpha x}$ убывает, ограничивается и собирается $0$.

Так что сходится равномерно.

Это нормально? Или он сходится равномерно только в$]k,\infty[$ с участием $k>0$ ?

Answer 1

Совет по использованию теста Дирихле:

У нас есть $\int_0^c \sin x \, dx$ ограничен для всех $c > 0$ и независимо от $\alpha$ и $\frac{e^{-\alpha x}}{x}$ монотонно убывает по $x$и равномерно сходится к$0$ в виде $x \to \infty$ для всех $\alpha \in [0,\infty)$.