Демонстрация невозможности провести параллель через точку, используя только линейку.

Question

Из ответов на этот вопрос , похоже, хорошо известно, что невозможно провести параллель с прямой линией:$\ell$ через точку: $P$, используя исключительно линейку.

Вы можете продемонстрировать этот факт?

Answer 1

Конструкция, в которой используется только линейка, может быть преобразована с помощью проективного преобразования (также известного как гомография) .

Предположим, у вас есть линейка для прямой $m$ через точку $P$ параллельно линии $\ell$. Предположим, что проективное преобразование отображает$P\rightarrow P'$ и $\ell\rightarrow \ell'$. Тогда та же конструкция создаст линию$m'$ который в целом не параллелен $\ell'$. Получаем противоречие, и такой конструкции линейки нет.

Демонстрация будет немного более убедительной, если проективное преобразование оставляет $P$ и $\ell$инвариантный. В этом случае одна и та же конструкция создаст две разные линии при применении до и после одной и той же точки и линии.