Длина волны Де Бройля композитных систем
Можно ли вычислить длину волны Де Бройля сложной системы (например, молекулы), а не вычислить ее из составной массы?
РЕДАКТИРОВАТЬ: @Dr jh, интересное отношение, которое вы получили. Однако это переписывание исходного уравнения ДеБрогли, хотя и с использованием переменных λ. Де Бройль угадал свое решение, установив ограничения относительности, и получил частоту частицы в системе ее покоя как f = m0c2h. Думаю, мы можем переформулировать мой вопрос относительно того, почему частица приобретает такую частоту, которая кажется свойством связанной системы, поэтому мы можем на мгновение игнорировать ее составную часть. То, что лежащая в основе физика дает частице эту частоту. Другими словами, если бы у нас был большой шар над водой и мы видели, как он подпрыгивает вверх и вниз, мы бы предположили, что что-то толкает его, что-то вроде волны на воде. Можем ли мы сделать что-то подобное и предположить, что связанная система каким-то образом приобрела свою частоту времени, резонируя с лежащей ниже волной в вакууме? Что интересно в том, как Де Бройль получил свое решение, и я видел это только в редких книгах по КМ, так это то, что частица имеет связанную с ней пространственно плоскую (постоянную фазу) волну, которая затем при наблюдении с точки движущегося кадра выглядит как плоская волна вдоль направления движения с известным λ. Никакая другая форма волны в кадре частицы, кроме волны постоянной фазы, не создаст такой зависимости.
Ответы
Можно ли вычислить длину волны Де Бройля сложной системы (например, молекулы), а не вычислить ее из составной массы?
Да, оно может. Это стандартный материал для атома водорода в достаточно твердых учебниках по квантовой механике, и его распространение на более крупные системы (в значительной степени, хотя и не полностью) несложно. Однако вам нужно начать с полностью развитой КМ, включая канонические коммутационные соотношения и уравнение Шредингера.
Это работает так: вы начинаете с уравнения Шредингера в форме $$ \left[ \frac{\mathbf p_p^2}{2m_p} +\frac{\mathbf p_e^2}{2m_e} -\frac{e^2}{|\mathbf r_e-\mathbf r_p|} \right]\Psi(\mathbf r_p, \mathbf r_e,t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf r_p, \mathbf r_e,t) $$ (где $\mathbf p_p$ и $\mathbf p_e$ являются операторами для импульсов протона и электрона), и вы выполняете преобразование замены переменных в центр масс и относительные координаты, \begin{align} \mathbf R & = \frac{m_p \mathbf r_p + m_e \mathbf r_e}{m_p+m_e} \\ \mathbf r & = \mathbf r_e - \mathbf r_p, \end{align} с соответствующими импульсами $\mathbf P$ и $\mathbf p$, и вы можете показать, что это приводит к $$ \left[ \frac{\mathbf P^2}{2M} +\frac{\mathbf p^2}{2\mu} -\frac{e^2}{|\mathbf r|} \right]\Psi(\mathbf R, \mathbf r,t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf R, \mathbf r,t) , $$ где $M=m_p+m_e$ полная масса и $\mu = \frac{m_pm_e}{m_p+m_e}$ приведенная масса.
Это означает, что динамика полностью факторизуется, причем динамика центра масс подчиняется более простому уравнению Шредингера для свободной частицы: $$ \frac{\mathbf P^2}{2M} \Psi(\mathbf R, \mathbf r,t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf R,t) . $$ Теперь отношение де Бройля (само закодировано в канонических коммутационных соотношениях) говорит вам, что $P = h/\lambda_\mathrm{COM}$, где $\lambda_\mathrm{COM}$ длина волны де Бройля центра масс, но вы также знаете, что (в пределах, когда имеет смысл говорить о скоростях) $P = M v_\mathrm{COM}$.
Отношения, которые вы хотите, возникают, если соединить этих двоих вместе.
Это интересный вопрос. Длина волны де Бройля любого объекта определяется выражением
$λ_c = \frac{h}{mv}$
где m - масса объекта, v - его скорость, а h - постоянная Планка. Для составных объектов, таких как молекулы, мы можем просто сложить массы вместе, но соотношение для объединения длин волн составляющих атомов может быть немного сложнее. Попробуем сделать это по индукции. Двухатомный (двухчастичный) случай (например,$NaCl$ молекулы) мы объединяем две массы каждого атома так, чтобы
$m_T=m_1 + m_2$
где $m_T$это общая масса. Соотношение де Бройля для массы каждого из атомов:
$m_1= \large \frac{h}{λ_1v}$
$m_2= \large \frac{h}{λ_2v}$
(и очевидно, что скорость каждого компонента идентична скорости всего), тогда как для составных длин волн де Бройля мы имеем
$λ_T = \large \frac{h}{(m1+m2)v}$ знак равно $\frac{h}{[(h/λ_1v)+(h/λ_2v)]v}$ знак равно $\frac{1}{1/λ_1 + 1/λ_2}$
Затем мы можем применить это к случаю трех тел и, предположив, что два компонента действительно объединяются, как и раньше, мы можем индуктивно объединить третью длину волны, т. Е.
$λ_T = \large \frac{1}{1/λ_1 + 1/λ_2 + 1/λ_3}$
И снова по индукции мы можем расширить это, чтобы найти общее соотношение для состава длин волн де Бройля для любого количества компонентных длин волн (или компонентных атомов) N:
$$λ_T = \frac{1}{1/λ_1+1/λ_2+...+1/λ_N}$$
Это соотношение показывает, что результирующая волна де Бройля молекулы является обратной сумме обратных величин составляющих длин волн (атомов). Это интересный результат.
Учтите, что физика никогда не объяснит, «почему» что-то происходит. Физика расскажет вам, «как» все происходит, на основе наблюдений, экспериментов и гипотез. Ваш вопрос скорее философский, чем научный. Излишне говорить, что дуализм волна-частица является центральным принципом современной физики / квантовой механики. Всякая материя проявляет волнообразное поведение. Пучок частиц, таких как электроны, будет преломляться или интерферировать так же, как волны на воде. Это гипотеза де Бройля о том, что вещество ведет себя как волна. Вот и все. Такое поведение очевидно на квантовом уровне и для макроскопических объектов незначительно. Ваше сравнение с «шаром для боулинга, плывущим на волнах» основано на неверном предположении. Квантовые объекты, такие как фотоны, не нуждаются в среде, чтобы проявлять волнообразное поведение. (Ваш вопрос кажется напоминающим вопрос Майкельсона-Морли, где экспериментально было установлено, что свет не нуждается в среде для распространения). Вы не можете «резонировать с глубинной волной в вакууме».
Возможно, вы могли бы изучить Теорию экспериментальных волн или Бомовскую механику . Это обеспечивает полностью детерминированную альтернативу принятой в настоящее время квантовой теории. Сама теория не принимается основной физикой и несовместима с теорией относительности. Хотя это интересно.