Доказать $\Bbb Z_n$является группой по модулю сложения: ассоциативная часть. [дубликат]

Aug 19 2020

Почему $\Bbb Z_n =\{0,1,2,3,4,...,n-1\}$ группа по модулю сложения?

Нужна только ассоциативная часть. То есть я застрял доказывать, что для$a,b,c \in \Bbb Z_n$, у нас есть: $$(a + b \pmod{ n} + c) \pmod {n} = a + (b + c \pmod{n}) \pmod n.$$

Или, может быть, более четко сказано. С участием$+_n$ обозначающий "$+ \pmod{n}$": $(a +_n b) +_n c = a +_n ( b +_n c)$.

-Благодаря

Ответы

1 Shaun Aug 19 2020 at 14:09

Элементы $\Bbb Z_n$представляют собой классы эквивалентности целых чисел, например:

$$[a]_n:=\{b\in\Bbb Z:n\mid a-b\},$$

где $a\in \Bbb Z.$

Дополнение определяется следующим образом:

$$[a]_n+_n[b]_n:=[a+b]_n.$$

Теперь требуемая ассоциативность следует из ассоциативности сложения: для любого $[a]_n,[b]_n,[c]_n\in\Bbb Z_n$, у нас есть

$$\begin{align} [a]_n+_n([b]_n+_n[c]_n)&=[a]_n+_n[b+c]_n\\ &=[a+(b+c)]_n\\ &=[(a+b)+c]_n\\ &=[a+b]_n+_n[c]_n\\ &=([a]_n+_n[b]_n)+_n[c]_n. \end{align}$$