Доказать / опровергнуть: $A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq (\lfloor A/B \rfloor + 1) \times B$ за $A \geq B$
Я пытался доказать следующее, ибо $A \geq B$, оба являются строго положительными целыми числами: $$A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq (\lfloor A/B \rfloor + 1) \times B$$Не уверен, правда ли это. Пока не могу найти контрпримера. У кого-нибудь есть идея?
Ответы
$ \newcommand{\f}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} \newcommand{\c}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} $ Обратите внимание, что $\f{A/B} \leq \c{A/B}$, так: $$ A - \f{A/B} - \c{A/B} \leq A - 2\f{A/B} \\ (\f{A/B} + 1)B = \f{A/B}B + B \geq (A/B - 1)B + B = A $$ Таким образом, неравенство, очевидно, выполняется как $\f{A/B} > 0$.
$A\ge B\implies\lfloor A/B \rfloor\ge 1$ и $\lceil A/B \rceil\ge 1$ $$A-\lfloor A/B\rfloor - \lceil A/B \rceil <A=A/B\times B\le \lceil A/B\rceil \times B \le (\lfloor A/B \rfloor +1)\times B$$
где последнее неравенство выполнено, поскольку $\lceil A/B \rceil = \lfloor A/B \rfloor $ если $A$ делится на $B$, иначе $A/B$ не является целым числом и $\lceil A/B \rceil = \lfloor A/B \rfloor +1$.