Доказать / опровергнуть: $A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq \lfloor A/B \rfloor \times (B+1)$ за $A \geq B$

Question

За $A \geq B$, оба являются строго положительными целыми числами, верно ли следующее? $$A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq \lfloor A/B \rfloor \times (B+1)$$

Я попробовал метод, использованный для доказательства очень похожего вопроса: Доказать / опровергнуть:$A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq (\lfloor A/B \rfloor + 1) \times B$ за $A \geq B$

Но, похоже, это не сработало. Я также пробовал эмпирически генерировать случайные A и B, но также не могу найти контрпример.

Answer 1

$\newcommand{f}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$ Позволять $B = 100$ а также $A = 199$. Тогда: \ begin {align *} LHS & = 199 - 1 - 2 = 196 \\ RHS & = 1 (100 + 1) = 101 \ end {align *} Таким образом, неравенство неверно.

---

РЕДАКТИРОВАТЬ : в ответ на комментарий OP, предположим, что мы дополнительно ограничиваем это$\f{A/B} \geq N$ для некоторых $N \in \Bbb{Z}^+$. Позволять$B = 3N + 3$, и разреши $A = (N + 1)(3N + 3) - 1$. Ясно$A \geq B$ а также $\f{A/B} = N$. \ begin {align *} LHS & = (N + 1) (3N + 3) - 1 - N - (N + 1) \\ & = (N + 1) (3N + 1) \\ \ end {align * } \ begin {align *} RHS & = N (3N + 4) \\ & = N (3N + 1) + 3N \\ & = (N + 1) (3N + 1) - (3N + 1) + 3N \\ & = (N + 1) (3N + 1) - 1 <LHS \ end {align *} Таким образом, неравенство все равно не выполняется.