Доказать $(V_1 \cap V_2)^{\perp_L} = V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L}$ если $f$ невырожденный

Aug 15 2020

Позволять $f(\alpha, \beta)$ быть билинейной формой на $n$-мерное линейное пространство $V$ над числовым полем $F$. Докажи, если$f(\alpha, \beta)$ невырожден, для любых подпространств $V_1$ и $V_2$ из $V$, тогда \begin{align*} & (V_1 \cap V_2)^{\perp_L} = V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L}, \\ & (V_1 \cap V_2)^{\perp_R} = V_1^{\perp_R} + V_2^{\perp_R}. \end{align*} где для любого подпространства $W$ из $V$, левая ортогональная группа $W^{\perp_L}$и правая ортогональная группа $W^{\perp_R}$ определены \begin{align*} & W^{\perp_L} = \{\alpha \in V: f(\alpha, \beta) = 0, \forall \beta \in W\}, \\ & W^{\perp_R} = \{\beta \in V: f(\alpha, \beta) = 0, \forall \alpha \in W\}. \end{align*}

По определению я могу показать (в этом направлении невырожденность $f$ не нужен), что $V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L} \subseteq (V_1 \cap V_2)^{\perp_L}$. Я не особо задумываюсь о другом направлении, в частности о том, как невырожденность$f$ следует применять?

Ответы

Zhanxiong Aug 16 2020 at 02:17

$\newcommand{\lbot}{\perp_L}$ $\newcommand{\rbot}{\perp_R}$

Сначала докажем по определению, что \begin{align*} & (V_1 + V_2)^{\lbot} = V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}; \tag{1} \\ & (V_1 + V_2)^{\rbot} = V_1^{\rbot} \cap V_2^{\rbot}. \tag{2} \end{align*} Позволять $\alpha \in (V_1 + V_2)^{\lbot}$, то для любого $\beta_1 \in V_1, \beta_2 \in V_2$, у нас есть \begin{align*} & f(\alpha, \beta_1 + \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) + f(\alpha, \beta_2) = 0, \\ & f(\alpha, \beta_1 - \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) - f(\alpha, \beta_2) = 0. \end{align*}

Следовательно $f(\alpha, \beta_1) = f(\alpha, \beta_2) = 0$, т.е. $\alpha \in V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}$. Наоборот, если$\alpha \in V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}$, то для любого $\beta = \beta_1 + \beta_2 \in V_1 + V_2$, где $\beta_1 \in V_1, \beta_2 \in V_2$, у нас есть $$f(\alpha, \beta_1 + \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) + f(\alpha, \beta_2) = 0 + 0 = 0,$$ т.е. $\alpha \in (V_1 + V_2)^{\lbot}$. Второе равенство доказывается аналогично.

Если $f(\alpha, \beta)$ невырождено, покажем, что для любого подпространства $W$ из $V$, $W = (W^{\lbot})^{\rbot}$. По определению,$W \subset (W^{\lbot})^{\rbot}$. Чтобы показать другое направление, его можно показать с помощью$f$ невырожден, что для любого подпространства $W$, $$\dim(W^{\lbot}) = \dim(W^{\rbot}) = \dim(V) - \dim(W).$$

Отсюда следует, что \begin{align*} \dim((W^{\lbot})^{\rbot}) = \dim(V) - \dim(W^{\lbot}) = \dim(V) - (\dim(V) - \dim(W)) = \dim(W). \tag{*} \end{align*} Это равенство и $W \subset (W^{\lbot})^{\rbot}$ подразумевают, что $W = (W^{\lbot})^{\rbot}$. Так же,$W = (W^{\rbot})^{\lbot}$.

Теперь по $(1)$ и $(2)$, у нас есть \begin{align*} (V_1 \cap V_2)^{\lbot} = ((V_1^{\lbot})^{\rbot} \cap (V_2^{\lbot})^{\rbot})^{\lbot} = ((V_1^{\lbot} + V_2^{\lbot})^{\rbot})^{\lbot} = V_1^{\lbot} + V_2^{\lbot}. \end{align*} Это завершает доказательство.

(Равенство $(*)$ можно установить, построив карту между $W^{\lbot}$ в пространство решений первого $\dim(W)$ столбцы матрицы $(f(\alpha_i, \alpha_j))$.)