Доказательство того, что касательное пространство - векторное пространство?
Начиная с этих определений
Кривая на многообразии$\mathcal M$ является гладким (т.е. $C^{\infty}$) карта $\sigma $ из некоторого открытого интервала $(-\epsilon,\epsilon)$ реальной линии в $\mathcal M$
Две кривые $\sigma_1$ и $\sigma_2$являются касательной в точке $p$ в $\mathcal M$ если) $\sigma_1(0) = \sigma_2(0) = p$ и (б) в некоторой локальной системе координат $(x^1,x^2,\ldots,x^m)$ вокруг $p$, две кривые касаются в обычном смысле, как кривые в $\mathbb R^m$, $$ (x^i \circ \sigma_1)'(0) = (x^i \circ \sigma_2)'(0) $$ Вот, $i=1,\ldots,m$
Касательный вектор определяется как класс эквивалентности кривых в$\mathcal M$где отношение эквивалентности между двумя кривыми состоит в том, что они касаются в точке $p$.
Касательное пространство является$T_p\mathcal M$ к $\mathcal M$ в точке $p$- это множество всех касательных векторов в точке$p$
Я пытаюсь доказать касательное пространство в точке $p$ в коллекторе $\mathcal M$ - векторное пространство.
Я начинаю с $v_1 \in T_p\mathcal M$, и $v_2 \in T_p\mathcal M$, и у меня есть следующие определения $$ v_1 + v_2 := [\phi^{-1}\circ \ (\phi\ \circ \sigma_1 + \phi\ \circ \sigma_2 )] \\ r \ v_1 := [\phi^{-1}\circ \ (r \phi\ \circ \sigma_1)]\ \forall r \in \mathbb R $$
Я хочу показать это $v_1 + v_2 \in T_p \mathcal M$ и $r \ v_1 \in T_p \mathcal M$
В виде $v_1 ,v_2 \in T_p\mathcal M$, тогда $$ \sigma_1(0) = \sigma_2(0) = p $$
Теперь для $v_1 + v_2$ быть вектором в $p$ , $\phi^{-1}\circ \ (\phi\ \circ \sigma_1 + \phi\ \circ \sigma_2 )(0) = p$ $$ \phi^{-1}\circ \ (\phi\ \circ \sigma_1 + \phi\ \circ \sigma_2 )(0) = \phi^{-1} \ (\phi\ ( \sigma_1(0)) + \phi\ (\sigma_2(0)) ) \\ = \phi^{-1}((\phi\ ( p) + \phi\ (p) )) \\ = \phi^{-1}( \ 2\phi\ ( p) ) \neq p $$
Я не могу доказать отношения замыкания, исходя из определений, что я делаю не так?
Редактировать:
Я слежу за книгой "Ишем, Крис Дж. Современная дифференциальная геометрия для физиков. Том 61. World Scientific, 1999." , берет специальный график$(U,\phi)$ такой, что $\phi(p) = \mathbf 0 \in \mathcal M$, используя этот выбор
$$ \phi^{-1}\circ \ (\phi\ \circ \sigma_1 + \phi\ \circ \sigma_2 )(0) = \phi^{-1}( \ 2\phi\ ( p) ) = \phi^{-1}(0) = p $$Итак, закрытие доказано дополнительно. Но этот график - особый выбор. Но определения верны для любых диаграмм вокруг$p$, поэтому другой выбор диаграмм должен дать тот же результат.
Ответы
Касательные векторы a $p \in M$ - классы эквивалентности гладких кривых $\sigma : (-\epsilon,\epsilon) \to M$ такой, что $\sigma(0) = p$ ("плавные кривые в $M$ через $p$"). Вот $\epsilon = \epsilon (\sigma)$- параметр, который может меняться от кривой к кривой. Отношение эквивалентности задается формулой$\sigma_1 \sim \sigma_2$ если $(\phi \sigma_1)'(0) = (\phi \sigma_2)'(0)$для некоторой диаграммы$\phi$ вокруг $p$. Легко убедиться, что$\sigma_1 \sim \sigma_2$ если только $(\phi \sigma_1)'(0) = (\phi \sigma_2)'(0)$для всех графиков$\phi$ вокруг $p$.
Учитывая плавную кривую $\sigma : (-\epsilon,\epsilon) \to M$ через $p$, вы, конечно, можете определить $r \cdot \sigma : (-\epsilon/\lvert r \rvert,\epsilon/\lvert r \rvert) \to M, (r \cdot \sigma)(t) = \sigma (rt)$. К сожалению, нет аналогичного определения$\sigma_1 + \sigma_2$ для кривых $\sigma_i$ в $M$ впадина $p$. Вы пытаетесь добавить их через определение$$\sigma_1 + \sigma_2 = \phi^{-1}(\phi\sigma_1 + \phi \sigma_2).$$ Это использует тот факт, что диаграмма $\phi : U \to V \subset \mathbb R^n$ принимать ценности в $\mathbb R^n$, но в целом это не работает, потому что вы не можете быть уверены, что $\phi\sigma_1(t) + \phi \sigma_2(t) \in V$ за $\lvert t \rvert$достаточно маленький. Даже не$\phi\sigma_1(0) + \phi \sigma_2(0) = \phi(p) + \phi(p) = 2\phi(p)$ в целом содержится в $V$.
Решение состоит в том, чтобы рассматривать только такие диаграммы, что $\phi(p) = 0$. Этого всегда можно добиться, если заменить произвольную диаграмму$\phi$ по $T\phi$ где $T$ перевод $-\phi(p)$. То же самое верно и для вашего определения$r \cdot \sigma$.
Так вы увидите, что фактически вы получаете структуру векторного пространства на $T_p M$. Формально предлагаю поступить следующим образом:
Покажи то $\phi_* : T_pM \to T_0V, \phi_*([\sigma]) = [\phi\sigma]$, является биекцией.
Покажи то $T_0V$ становится векторным пространством через $[\tau_1] + [\tau_2] = [\tau_1 + \tau_2]$ и $[r \cdot \tau] = [r \cdot \tau]$, где $(\tau_1 + \tau_2(t) = \tau_1(t)+ \tau_2(t)$ и $(r \cdot \tau)(t) = r \cdot \tau(t)$. Обратите внимание, что всегда существует максимальный интервал, на котором$\tau_1(t)+ \tau_2(t) \in V$ и $r \cdot \tau(t) \in V$; мы берем эти интервалы как области определения$\tau_1 + \tau_2$ и $r \cdot \tau$. Тогда легко увидеть, что карта$\mathbb R^n \to T_0V, v \mapsto \tau_v$ с участием $\tau_v(t) = tv$, дает изоморфизм векторных пространств, который показывает, что $\dim T_0V = n$.
Заметьте, что $\phi_*$ индуцирует уникальную структуру векторного пространства на $T_pM$ такой, что $\phi_*$ становится изоморфизмом векторных пространств.
На первый взгляд кажется, что структура векторного пространства на $T_pM$ зависит от выбора $\phi$. Таким образом, последним шагом будет доказательство того, что любые две диаграммы$\phi_1, \phi_2$ вокруг $p$ с участием $\phi_i(p) = 0$ создать такую же структуру векторного пространства на $T_pM$.