Доказательство условного неравенства Гёльдера с использованием регулярного условного распределения

Question

Я пытаюсь доказать условное неравенство Гёльдера, используя регулярные условные распределения. Я пытаюсь доказать следующее неравенство:

За $p,q \in (1,\infty)$ с участием $\frac 1 p + \frac 1 q = 1$, и для $X \in \mathcal L^p(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$ и $Y \in L^q(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$, и для $\mathcal F \subset \mathcal A$ суб-$\sigma$-алгебра, почти наверняка мы имеем $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right] \leq \mathbb E\left[|X|^p\,\big|\,\mathcal F\right]^{1/p}\mathbb E\left[|Y|^q\,\big|\,\mathcal F\right]^{1/q} $$

Я нашел множество доказательств этого факта, но я специально пытаюсь доказать это, используя теорему о регулярных условных распределениях:

Позволять $X$ быть случайной величиной на $(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$ со значениями в борелевском пространстве $(E,\mathcal E)$, $\mathcal F \subset \mathcal A$ является суб-$\sigma$-алгебра и $\kappa_{X,\mathcal F}$ регулярное условное распределение $X$ дано $\mathcal F$. Далее, пусть$f : E \to \mathbb R$ быть измеримыми и $\mathbb E[|f(x)|] < \infty$. Потом,$$ \mathbb E\left[f(x)\,|\,\mathcal F\right](\omega) = \int_E f(x)\kappa_{X,\mathcal F}(\omega, dx) \quad \textrm{for $\ mathbb P$-almost all $\ омега \ в \ омега$}. $$

Применение неравенства Юнга и монотонности и линейности условного ожидания дает мне $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) \leq \frac 1 p \mathbb E\left[|X|^p\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) + \frac 1 q \mathbb E\left[|Y|^q\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) = \frac 1 p \int |x|^p\kappa_{X,\mathcal F}(\omega,dx) + \frac 1 q \int |y|^q\kappa_{Y,\mathcal F}(\omega,dy) $$но мне трудно добраться отсюда до желаемого неравенства. В качестве альтернативы стандартное неравенство Гёльдера дает нам$\mathbb E\left[|XY|\right]<\infty$, поэтому из приведенного выше результата также следует $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) = \int_{\mathbb R^2}|xy| \kappa_{X \times Y,\mathcal F}(\omega, dx dy) $$ Но оба этих подхода привели меня к круговым аргументам или к использованию мер, которые, по моему мнению, формально не существуют (например, $A \mapsto \mathbb P[A|\mathcal F](\omega)$ для фиксированного $\omega\in\Omega$). Есть предложения или другие места для поиска?

Answer 1

Позволять $\pi_1, \pi_2 : \mathbb R^2 \to \mathbb R$ быть прогнозами $\pi_1(x,y) = x$ и $\pi_2(x,y) = y$. После показа$\kappa_{X,\mathcal F}(\omega,\cdot) = (\pi_1)_*\kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)$, $$ \int_{\mathbb R^2}|x|^p\kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega, dx dy) = \int_{\mathbb R} |x|^p \kappa_{X,\mathcal F}(\omega, dx) = \mathbb E\left[ |X|^p\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) $$ цитируемым результатом о регулярных условных распределениях, конечным при п.в. $\omega\in\Omega$. Так$|\pi_1| \in \mathcal L^p\left(\mathbb R^2, \mathcal B(\mathbb R^2), \kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)\right)$, и аналогично $|\pi_2| \in \mathcal L^q\left(\mathbb R^2, \mathcal B(\mathbb R^2), \kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)\right)$, для ae $\omega\in\Omega$. Итак, \ begin {align *} \ mathbb E \ left [| XY | \, \ big | \, \ mathcal F \ right] (\ omega) & = \ int _ {\ mathbb R ^ 2} | xy | \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {по процитированному результату для регулярных условных распределений;} \\ & \ leq \ left (\ int _ {\ mathbb R ^ 2} | x | ^ p \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \ right) ^ {1 / p} \ left (\ int _ {\ mathbb R ^ 2} | y | ^ q \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \ right) ^ {1 / q} \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {по стандартное неравенство Гёльдера применено к} \ left (\ mathbb R ^ 2, \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, \ cdot) \ right); \\ & = \ mathbb E \ left [| X | ^ p \, \ big | \, \ mathcal F \ right] ^ {1 / p} (\ omega) \ mathbb E \ left [| Y | ^ q \ , \ big | \, \ mathcal F \ right] ^ {1 / q} (\ omega) \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {по процитированному результату и с использованием свойств измерения изображения$\kappa_{X,\mathcal F}$ и $\kappa_{Y,\mathcal F}$.} \ end {align *}

Answer 2

Как насчет того, чтобы начать с $$\mathbb E \left[\frac{|X|}{\mathbb E[|X|^p|\mathcal F]^{1/p}} \frac{|Y|}{\mathbb E[|Y|^q|\mathcal F]^{1/q}} \Bigg | \mathcal F \right] ?$$

Если $Z$ является $\mathcal F$ измеримый, тогда $$ \mathbb E(f(X) Z | \mathcal F)(\omega) = Z(\omega) \mathbb E(f(X) | \mathcal F)(\omega) = Z(\omega) \int_E f(x) \kappa_{X,\mathcal F}(\omega,dx) .$$

Чтобы избежать проблем с нулем и бесконечностью, сначала примените его к $X_{\epsilon,N} = (|X| \vee \epsilon )\wedge N$, и аналогично для $Y$, а затем пусть $\epsilon \to 0+$, и $N \to \infty$.

Конечно, когда вы делаете неравенство Юнга вначале, введение регулярного условного распределения является лишним шагом, который не имеет смысла.

Answer 3

Опять же, я не отвечаю на ваш вопрос. Но это слишком велико для комментариев.

При доказательстве стандартного неравенства Гёльдера мы фактически используем неравенство Юнга в такой форме: для любого $x,y \ge 0$, $\lambda > 0$ $$ xy \le (\lambda x) (\lambda^{-1} y) \le \tfrac1p \lambda^p x^p + \tfrac1q \lambda^{-q} y^q $$ из которого вы получаете $$ E(|XY|) \le \tfrac1p \lambda^p E(|X|^p) + \tfrac1q \lambda^{-q} E(|Y^q|) . $$ Затем вы используете: if $A,B \ge 0$: $$ \inf_{\lambda >0} \left(\tfrac1p \lambda^p A^p + \tfrac1q \lambda^{-q} B^q\right) = AB. $$ (Это просто ставит условия равенства в неравенство Юнга.) При доказательстве условной формы неравенства Гёльдера нижняя грань берется за $\lambda$ положительный $\mathcal F$-измеримая функция.

Но это говорит о том, что если вы действительно хотите использовать условные регулярные распределения, вам действительно следует использовать форму неравенства Юнга, которую я написал выше.