Докажи это $2^{n}+1$ не является целым кубом для всех $n\in\mathbb{N}$ [дубликат]
Докажи это $2^n+1$ не куб для любого $n\in\mathbb{N}$.
Мне удалось доказать это утверждение, но хотелось бы знать, есть ли другие подходы, отличные от моего.
Если бы существовал $k\in\mathbb{N}$ такой, что $2^n+1=k^3$ тогда $k=2l+1$ для некоторых $l\in\mathbb{N}$. потом$(2l+1)^3=2^n+1 \iff 4l^3+6l^2+3l=2^{n-1}$. Поскольку я ищу целочисленное решение, из теоремы рационального корня$l$ должен быть в форме $2^j$ за $j=1,...,n-1$. Но потом
$$4(2^j)^3+6(2^j)^2+3\times2^j=2^{n-1} \iff 2^{2j+2}+3(2^{j+1}+1)=2^{n-1-j}$$
LHS нечетная, что означает, что $j=n-1$. Абсурд.
Заранее спасибо.
Ответы
Вот другой подход.
По модулю $7$, кубиков не так много, так что это может быть хорошей настройкой для исследования таких проблем:
$2^n+1\equiv 2, 3, $ или же $5\pmod7$, но $m^3\equiv0, 1, $ или же $6\pmod 7$.
Вот решение на основе четности, которое позволяет избежать проверки рационального корня.
Если $2^n+1=m^3$, тогда $2^n=m^3-1=(m-1)(m^2+m+1)$, так $m-1=2^k$ для некоторых $k\le n$, и
$$2^n+1=\left(2^k+1\right)^3=2^{3k}+3\cdot2^{2k}+3\cdot2^k+1\,.$$
потом $2^n=2^k\left(2^{2k}+3\cdot2^k+3\right)$, так $2^{n-k}=2^{2k}+3\cdot2^k+3$ нечетно и больше, чем $1$, что невозможно.
Добавлено: Как видно из комментариев ниже, есть много способов продолжить этот аргумент после первой строки. Я взял то, что считаю подходом «следуй за носом», т. Е. Наиболее очевидным, прямым, не обязательно самым изящным. (Кстати, о самых аккуратных, мне очень нравится тот, что написала rtybase .) С другой стороны, народные носы не всегда указывают в одном направлении. :-)
Вызов более сильного аргумента, чем необходимо для этого:
не может быть никаких решений $2^n+1=m^3$ (т.е. $m^3-2^n=1$) по теореме Михэилеску ,
в котором говорится, что $2^3$ и $3^2$ единственные две степени натуральных чисел
чьи значения являются последовательными.
Предположим $2^n + 1 = k^3$. потом$2^n = k^3 - 1 = (k^2 + k + 1)(k - 1)$. Так что оба фактора равны ($k = 2$не работает; первый фактор как минимум$3^2 + 3 + 1 = 13$, не может быть 1). Но первый фактор всегда странный, противоречие.
Позволять $$2^n=m^3-1\\\implies 2^n=(m-1)(m^2+m+1)\\\implies(m-1)=2^a\text{ and }(m^2+m+1)=2^b\\\implies3m=(m^2+m+1)-(m-1)^2=2^b-2^{2a}$$ Теперь, поскольку $m$ странно, мы должны иметь $a=0$ или же $b=0$. Но$(m-1)<(m^2+m+1)$ подразумевает $a=0$. Из этого следует$m=2$ противоречие, поскольку $m$ должно быть странно.
Установим кубики на $8m^3$ и $8m^3+12m^2+6m+1$. В виде$8m^3$ четный и не работает для $n=0$, это невозможно. Для второго, игнорируя$1$ вы можете учитывать это в $2m(4m^2+6m+3)$. Поскольку нет ничего естественного, в котором$4m^2+6m+3=1$ невозможно быть $2^n$ для естественного $n$.