Докажите, что ортогональная проекция диагонализуема

Question

Позволять $S \subset V$ - подпространство конечномерного векторного пространства $V$. Покажите, что ортогональная проекция$P_S:V \to S$диагонализуема. Я не знаю, с чего начать этот вопрос. Может кто-нибудь помочь мне начать с подсказки?

Answer 1

Позволять $u_1,\ldots,u_d$ быть ортонормированной базой $V$ так что первый $k$ базисные векторы лежат в подпространстве $S$. потом$P_S(u_j)=u_j$ за $j\le k$. Также,$P_S(u_j) = 0\cdot u_j$ за $j > k$.

Подробнее: линейное преобразование.$T:V\rightarrow V$ диагонализуема, если есть базис $V$состоящий из собственных векторов преобразования. Ортогональная проекция$P_S$ действует как тождество на подпространстве $S$ и отображает любой элемент $S^\perp$ (векторы, ортогональные $S$) к $0$. $P_S$ определяется $P_S^2=P_S$ и $P_S^*=P_S$. Изображение ортогональной проекции$P_S$ будет $S\subset V$ и ядро ​​будет $S^{\perp}$.

Потому что мы знаем, что $\dim(S)+\dim(S^{\perp}) = \dim(V)$, и мы знаем, что $P_{S}$ действует как личность на $S$ и действует как $0$ на $S^{\perp}$, мы можем диагонализовать $P_{S}$ по любому основанию $u_1,\ldots, u_d$ с первым $\dim(S)$ элементы в $S$ и последнее $\dim(S^{\perp})$ элементы в $S^{\perp}$. Такая основа существует всегда, например, путем расширения основы$S$ к основе $V$, затем применяя процесс Грама Шмидта.

Обратите внимание, что $P_S$ фактически является унитарно / ортогонально диагонализуемым, поскольку мы можем диагонализовать его с помощью ортогонального базиса.

Answer 2

Условие ортогональности избыточно. Каждая проекция на$V$независимо от того, ортогонален он или нет, диагонализуем.

Приложение 1: минимальный многочлен от $P$ должен разделить $x(x-1)$.

Подход 2: как $P$ это проекция, мы имеем $V=PV\oplus\ker(P)$ и вы можете построить собственный базис $P$.