Докажите, что сумма радиусов окружностей

Question

$ABCD$- вписанный четырехугольник. Докажите, что сумма радиусов окружностей внутри треугольников$\Delta ABC$ а также $\Delta CDA$ равна сумме радиусов окружностей, проведенных внутри треугольников $\Delta BCD$, $\Delta DAB$.

Мне пришла в голову идея, что я могу использовать https://en.wikipedia.org/wiki/Japanese_theorem_for_cyclic_quadrilateralsчтобы доказать, что расстояние между центрами равно - они образуют прямоугольник - но я не могу его решить. Пожалуйста помоги.

Answer 1

Подсказка. Используйте теорему Карно: задан треугольник$\Delta ABC$, позволять $O$ обозначим его центр описанной окружности, $R$ его окружной радиус, и $r$его внутренний радиус. Позволять$O_1,O_2,O_3$ кроме того, ортогональные проекции $O$ на $BC, CA, AB$соответственно. Тогда у нас есть$$OO_1+OO_2+OO_3=R+r$$ Примечание: сегмент $OO_i$ считается отрицательным, если $OO_i$ лежит полностью снаружи $\Delta ABC$и положительный в противном случае.

Вот,$\color{blue}{OO_2}$ будет отрицательным, а $\color{red}{OO_1, OO_3}$положительные. Для удобства пусть$AB=:c, BC=:a, CA=:b$. Заметить, что$OO_3BO_1$ вписанный четырехугольник, так как $\angle BO_3O+\angle OO_1B=90^\circ+90^\circ=180^\circ$, и, следовательно, вы можете использовать теорему Птолемея, чтобы вывести $$\begin{align*}OB\cdot O_1O_3&=OO_3\cdot BO_1+O_3B\cdot OO_1\\\iff R\cdot \frac{b}2&=OO_3\cdot \frac{a}2+\frac{c}2\cdot OO_1\end{align*}$$Аналогичным образом вы получите \ begin {cases} R \ cdot a = OO_3 \ cdot b + OO_2 \ cdot c \\ R \ cdot b = OO_1 \ cdot c + OO_3 \ cdot a \\ R \ cdot c = OO_2 \ cdot a + OO_1 \ cdot b \ end {case}

Сложите их и рассмотрите известное уравнение $$r\cdot (a+b+c)=2\cdot [\Delta ABC]=OO_1\cdot a+OO_2\cdot b+OO_3\cdot c$$ (теперь вы понимаете, почему важно принимать $OO_2$быть отрицательным?). Первая часть - это всего лишь следствие разделения$\Delta ABC$на три треугольника с центром в вершине. Вторая часть тривиальна. $$\begin{align*}R\cdot (a+b+c)&=OO_1\cdot (b+c)+OO_2\cdot (c+a)+OO_3\cdot (a+b)\\ R\cdot (a+b+c)+r\cdot (a+b+c)&=OO_1\cdot (a+b+c)+OO_2\cdot (a+b+c)+OO_3\cdot (a+b+c)\\\iff R+r&=OO_1+OO_2+OO_3\end{align*}$$

Теперь, возвращаясь к вашей проблеме, довольно легко закончить, когда у нас есть этот драгоценный камень :)

(Я буду ссылаться на изображение.) Обратите внимание, что использование теоремы Карно дважды, один раз для $\Delta ABD$ и снова для $\Delta BCD$, мы получаем $$R+r_1=OO_1+OO_5+OO_4\qquad \text{and}\qquad R+r_2=OO_2+OO_3+OO_5$$ Заметить, что $OO_5$ отрицательно для $\Delta ABD$ и положительно для $\Delta BCD$. Таким образом, если вы сложите эти два уравнения, вы получите$$r_1+r_2=OO_1+OO_2+OO_3+OO_4-2R$$ Легко видеть, что это выражение будет идентичным при обращении к $r_3+r_4$.