Докажите, что существует многочлен, равный нулю во всех точках $X$ алгебраическая кривая
Позволять $X \subset \mathbb{A}^3$ - алгебраическая кривая и предположим $X$ не содержит линии, параллельной $z$- ось. Докажите, что существует ненулевой многочлен$f(x,y)$ исчезает во всех точках $X$.
Я думаю, что этот вопрос требует размерного аргумента, и, если быть более точным, я думал о применении следующего результата:
Если $X$ неприводимый $n$- размерное квазипроективное многообразие и $Y \subset X$ набор нулей $m$ формы на $X$, то каждая непустая компонента $Y$ имеет размер $\geq n -m$.
Итак, в моем случае $X$ имеет размер $n= 1$ потому что это алгебраическая кривая, $m = 1$ и $Y$ это набор нулей $f$. Таким образом, я понимаю, что каждый компонент$Y$ имеет размер $\geq 0$. Так похоже$f$ исчезает в некоторых точках $X$и перекресток никогда не бывает пустым. Чтобы доказать упражнение, я должен доказать, что$\dim Y = 1$. Я не знаю, как двигаться дальше, и до этого момента не уверен в правильности своих рассуждений.
Ответы
Интуитивно, способ найти такой многочлен - это рассмотреть проекцию кривой $X$ на $xy$-плоскость, а затем найти многочлен, исчезающий на изображении этой проекции. Это будет многочлен от$x$ и $y$ которая постоянна на всех вертикальных слоях этой проекции, поэтому она обращается в нуль на $X$.
Чтобы построить такой многочлен, рассмотрим $I(X)$ и возьми $f_1,\cdots,f_n$ как генераторная установка без $f_i \in (f_1,\cdots,f_{i-1})$. По условию, что$X$ кривая в $\Bbb A^3$, $n$ по крайней мере $2$(это единственное место, где важен размер). Если либо$f_1$ или $f_2$ это просто многочлен от $x$ и $y$-Мы закончили. В противном случае мы можем использовать результат$f_1$ и $f_2$ относительно $z$ произвести многочлен всего за $x$ и $y$ который исчезает везде $f_1$ и $f_2$ do: в частности, такой многочлен должен обращаться в нуль на $X$.