Докажите, что в последовательности связанных подмножеств пересечение конечно и непусто.

Question

Заголовок - это просто упрощенная версия. В настоящее время я читаю «Понимание анализа» и работаю над подготовительными мероприятиями. Вопрос в том:

Если $A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq A_4\cdots$ все конечные непустые множества действительных чисел, то пересечение $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ конечно и непусто.

Книга на данный момент не имеет формального определения конечности. Кроме того, единственный намек, на мой взгляд, предлагает книга, это следующий вопрос:

Если $A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq A_4\cdots$ - все множества, содержащие бесконечное число элементов, то пересечение $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ тоже бесконечно.

С помощью этого вопроса и вышеупомянутого примера я могу решить эту проблему, определив набор $A_i = \{i,i+1,i+2\dots\}\subseteq N$ и доказательство от противного.

Однако когда дело доходит до $A_i$ содержащих конечные элементы, я просто не знаю, как

1. Доказать по определению
2. Поймите интуицию, не могу найти контрпример, такой как бесконечная версия

Answer 1

Один из способов - заметить, что убывающая последовательность натуральных чисел, в данном случае мощности множеств $A_k$, в конечном итоге должно быть постоянным. Для$k\in\Bbb Z^+$ позволять $n_k=|A_k|$, количество элементов в $A_k$; $n_k$положительное целое число. Позволять$N=\{n_k:k\in\Bbb Z^+\}$; $N$ - непустой набор положительных целых чисел, поэтому он имеет наименьший элемент $m$. Позволять$\ell\in\Bbb Z^+$ быть таким, чтобы $n_\ell=m$.

$A_{\ell+1}\subseteq A_\ell$, так $n_{\ell+1}\le n_\ell=m$. Но$m=\min N$, так $n_{\ell+1}\ge m$, и поэтому $n_{\ell+1}=m$. Таким образом,$A_{\ell+1}\subseteq A_\ell$ и $|A_{\ell+1}|=|A_\ell|$ , так $A_{\ell+1}=A_\ell$. Вы можете использовать эту идею, чтобы доказать по индукции, что$A_k=A_\ell$ для каждого $k\ge\ell$. Тогда вы почти закончили.$A_k\supseteq A_\ell$ для $k=1,\ldots,\ell$, и $A_k=A_\ell$ для $k>\ell$, так

$$\bigcap_{k\ge 1}A_k=\bigcap_{k=1}^\ell A_k\cap\bigcap_{k>\ell}A_k=A_\ell\cap A_\ell=A_\ell\,.$$