Доказывая, что $x^2$ не является равномерно непрерывным

Question

Мы знаем это $f(x)=x^2$ не является равномерно непрерывной как функция $f:\mathbb{R}\rightarrow[0,\infty)$. Действительно, пусть$\epsilon=1$. Для любой$\delta>0$мы можем выбрать $\alpha>0$ достаточно большой, чтобы $\alpha\delta+\delta^2/4\geq \epsilon$. Тогда, если мы положим$$x=\alpha$$ $$y=\alpha+\frac{\delta}{2}$$ мы нашли $|x-y|<\delta$, еще $|f(x)-f(y)|\geq\epsilon$. Следовательно$\epsilon-\delta$ определение равномерной непрерывности отрицается и что $f$ не является равномерно непрерывным.

Сейчас если $X\subset\mathbb{R}$ - любое открытое неограниченное множество, как доказать, что $f:X\rightarrow [0,\infty)$не является равномерно непрерывным? Я попытался выполнить аналогичную процедуру, описанную выше, но ничего не вышло. Проблема в том, что я не могу убедиться, что$y=\alpha+\delta/2\in X$, потому как $X$ может быть открытым неограниченным множеством с более узкими открытыми интервалами при $x$ увеличивается, например $$X=\bigcup_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n},\sqrt{n}+\frac{1}{n}).$$

Учитывая вышеизложенное, есть ли способ изменить приведенное выше доказательство для $f:X\rightarrow [0,\infty)$дело? Меня не интересует просто получить доказательство, но я хотел знать, как мое доказательство может быть изменено, или его просто нельзя изменить в этом случае.

Answer 1

Это не правда. Рассматривать$X = \bigcup_n (n,n+\tfrac1{n^2})$. Обратите внимание, если$x,y \in (n,n+\tfrac1{n^2})$, тогда $$ |f(x) - f(y)| \le |f(n+\tfrac1{n^2}) - f(n)| = \tfrac2n + \tfrac1{n^2} \le \tfrac3n .$$ Дано $\epsilon > 0$, выберите $N > \frac3\epsilon$. Если$x,y \in \bigcup_{n\ge N} (n,\frac1{n^2})$, и $|x-y| < \tfrac12$, тогда $|f(x) - f(y)| < \epsilon$. И с тех пор$f(x)$ равномерно непрерывна на $[0,N+1]$, мы можем найти $\delta > 0$ и $\delta < \tfrac12$ так что если $x,y \in [0,N+1]$, тогда $|x-y| < \delta$ подразумевает $|f(x) - f(y) < \epsilon$.