Доказывает ' $X$ паракомпакт Хаусдорфа тогда и только тогда, когда $X\times Y$ является $T_4$ для всех компактных Хаусдорф $Y$«без теоремы Тамано возможно?

Question

$X$ паракомпакт Хаусдорфа тогда и только тогда, когда $X\times Y$ является $T_4$ для всех компактных Хаусдорф $Y$

Для этой теоремы прямая импликация имеет стандартное доказательство, а обратная импликация обычно доказывается с помощью теоремы Тамано, в которой используются компактификации.

Однако я не очень разбираюсь в компактификациях. Итак, я бы предпочел, чтобы было доказательство обратной импликации, не используя его. Я пытался поискать в Интернете, но безуспешно. Итак, есть ли такое доказательство? Любая помощь будет оценена по достоинству!

Answer 1

Лемма 2.5 (и относящиеся к ней результаты) составляют большую часть работы в этой классической статье Мориты, доказавшей это первым. Он использовал компактное тестовое пространство ординалов$W(\omega_\alpha + 1)$и не использует компактификации при беглом взгляде на доказательство. Это обобщение (в некотором смысле) результата Даукера о счетно паракомпактных пространствах.

Если выполнено условие правой части, для каждого кардинала $\mathfrak{m}$, $X \times [0,1]^{\mathfrak{m}}$ является $T_4$ откуда следует, что $X$ является $\mathfrak{m}$-паракомпакт для всех кардиналов (это в статье) (и уже Хаусдорф тривиально). Так$X$ паракомпакт Хаусдорфа.

Этот обзорный документ Noble 2002 г. также может вас заинтересовать, поскольку он посвящен схожим вопросам. Он также рассматривает теорему Нобла о том, что если$X$ является $T_1$ и $X^\kappa$ это нормально для всех $\kappa$, тогда $X$ компактный.