Доказывать $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\log(n)}{\log(n!)} = 1$ [дубликат]

Question

Мне нужно доказать $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\log(n)}{\log(n!)} = 1$$но я в своем уме. Я рыскал по сети, но могу найти только примеры / ответы, подтверждающие обратное = 0, и я сам пробовал кучу методов, но безрезультатно (расширенные термины, правило L'Hopitals с бесчисленным множеством различных выводов, которые все были неправильными). Может ли кто-нибудь указать мне правильное направление, я полностью застрял ...

Answer 1

Обратите внимание, что $\log n! = \sum_{k=1}^n \log k$. Нарисовав соответствующие графики, вы сможете увидеть:

$$\int_1^n \log x dx \le \sum_{k=1}^n \log k $$

$$\le \int_1^{n+1} \log x dx$$

Теперь вычислим интеграл $\int_1^m \log x dx = m \log m - m + 1$, поэтому приведенное выше становится

$$n \log n - n + 1 \le \log n! \le (n+1)\log(n+1)-n$$

А теперь мы получим ваш результат по теореме сжатия после разделения.

Answer 2

$\log(n!)\ge \frac{n}{2}\log(\frac{n}{2})$ и другие $\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le \dfrac{n\log(n)}{\frac{n}{2}\log(\frac{n}{2})}$

Когда вы оцените этот предел верхней границы, вы получите $2$ поскольку $\lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{\log(n)}{\log(n/2)} = 1$. Однако если вы выберете$\epsilon >1$, понимаете

$\log(n!)\ge \frac{n}{\epsilon}\log(\frac{n}{\epsilon})$ и другие $$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le \dfrac{n\log(n)}{\frac{n}{\epsilon}\log(\frac{n}{\epsilon})}\rightarrow \epsilon$$

и с тех пор $\epsilon>1$ (произвольно), можно сделать вывод, что $$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le 1$$

(вы можете легко получить нижнюю оценку), поэтому предел должен быть $1$.

Answer 3

С использованием $$\left( \frac{n}{e}\right)^n \lt n! \lt e \left( \frac{n}{2}\right)^n$$ у нас есть $$n \log \frac{n}{e} \lt \log n! \lt \log e+ n \log \frac{n}{2}$$

Добавление.

Для левой стороны первый шаг индукции ясен. потом$$(n+1)!=n!(n+1) \gt \left( \frac{n}{e}\right)^n (n+1) = \\ =\left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1} \frac{(n+1)\left( \frac{n}{e}\right)^n}{\left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}} \gt \left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}$$ так как $(n+1)\left( \frac{n}{e}\right)^n \left( \frac{n+1}{e}\right)^{-n-1}\gt 1$ эквивалентно $\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n} \lt e$.

Для правой стороны $$n! \lt \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n} = e\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \frac{\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n}}{e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}} = \\ =e\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \frac{\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n}}{e} \lt e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}$$

Answer 4

$$\displaystyle \frac{x\ln \left(x\right)}{\ln \left(x!\right)}=\frac{x\ln\left(x\right)}{\ln\left(\Gamma \left(x+1\right)\right)}$$

Применяя правило L'Hôpital,

$$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{x\ln \left(x\right)}{\ln \left(\Gamma \:\left(x+1\right)\right)}\right)=\lim_{x\to \:\infty \:}\left(\displaystyle \frac{\ln(x)+1}{\psi \:^{\left(0\right)}\left(x+1\right)}\right)$$

Применяя снова, дает

$$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{\frac{1}{x}}{\psi ^{\left(1\right)}\left(x+1\right)}\right)=\lim _{x\to \infty }\left(\frac{1}{x\left(\psi ^{\left(1\right)}\left(x+1\right)\right)}\right)$$

Знаменатель приближается к 1, поскольку $x\rightarrow \infty$.