Дополнение к идеалу, порожденному частью регулярной системы параметров

Question

Позволять $R$ быть $d$-мерный нётерский обычный местный $k$-альгбера ($k$ любое поле символа ($k$) = 0, $d \geq$2). Позволять$x, y$ быть частью регулярной системы параметров для $R$. Позволять$I = (x, y)$ быть идеалом, порожденным $x$ а также $y$ а также $\hat{R}$ обозначают завершение $R$ относительно $I$.

Это правда, что $\hat{R} = \frac{R}{I}[[x, y]]$?

Я знаю, что это очень частный случай, когда $d = 2$ а также $I$- максимальный идеал. Приведенное выше утверждение кажется правильным, но я не совсем уверен. Любая помощь была бы замечательной.

Answer 1

Предположим дополнительно, что $R$ по существу имеет конечный тип над $k$. потом$\hat{R}$ содержит подкольцо, которое изоморфно отображается на $R/I$.

Доказательство: обратите внимание, что $R/I$ регулярна и по существу имеет конечный тип над $k$. Следовательно, это$0$-сглаживать $k$(Мацумура, Теория коммутативных колец , теорема 30.3). Таким образом, мы можем поднять тождественное отображение$R/I$ к $k$-алгебра карта $f_2 : R/I \to R/I^2$. Повторяя рассуждение, получаем$k$-алгебра карта $f_j : R/I \to R/I^j$ подъем $f_{j-1}$, для каждого $j \geq 3$. Таким образом мы получаем карту$R/I \to \hat{R}$ такой, что композит $R/I \to \hat{R} \to R/I = \hat{R}/I\hat{R}$ тождественная карта $R/I$.

---

Старый ответ, оставленный здесь, чтобы комментарии ниже имели смысл.

$\hat{R}$ это квартира $R$-модуль (Мацумура, теория коммутативных колец , теорема 8.8), но$\frac{R}{I}[[x,y]]$ нет, так как каждый ненулевой элемент $I$ является делителем нуля на нем.