Дополнительные подпространства, вопрос True / False

Question

Правда или ложь?

$W_1$, $W_2$ и $W_3$ подпространства из векторного пространства $V$. Если$W_1 ⊕ W_2 = V$ и $W_1 ⊕ W_3 = V$ , тогда $W_2 = W_3$.

На экзамене мне действительно задали этот небольшой вопрос, и я сказал, что это правда, но позже мне сказали, что это ложь. Может кто-нибудь объяснить мне, почему, чтобы я интуитивно увидел в своей голове, что это действительно ложь. Только тогда я могу привести контрпример.

Заранее спасибо.

Answer 1

$W_2$ и $W_3$ изоморфны, но могут не быть одним и тем же подпространством.

Один из способов взглянуть на это - сначала выбрать основу $B$ из $W_1$. Есть разные способы распространить эту основу на основу$W_1 \oplus W_2$, поэтому дополнительные векторы добавляются к $B$ может охватывать разные подпространства.

Другой способ - представить себе автоморфизм $\alpha$ из $V$, (т.е. $\alpha:V \to V$обратимое линейное отображение). Предположим, что$W_1$ инвариантное подпространство $\alpha$. потом$W_1 \oplus \alpha (W_2)=V$ для всех таких $\alpha$.

Answer 2

Это действительно неправильно! Например, у вас есть$$\mathbb R^2=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(0,1)\}=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(1,1)\},$$ но $$\text{Span}\{(1,1)\}\neq \text{Span}\{(0,1)\}.$$