Двойные мозаичные конгруэнтные треугольники, не имеющие ничего общего

Question

Если вы действительно хотите выложить плиткой более одного слоя, но тройная мозаика - это слишком хорошо, безусловно, золотая середина - это двойная мозаика .

• Как можно укладывать мозаику из более чем 900 секций двойной плиткой из совпадающих треугольников в соответствии с 6 указаниями, перечисленными ниже?

Вот два примера двойной мозаики с конгруэнтными треугольниками. Первый пример демонстрирует большинство руководящих принципов этой головоломки, а второй также следует самым жестким принципам.

В первом примере восемь перекрывающихся треугольников 26,6 ° - 63,4 ° - 90 ° образуют квадратную мозаику из 15 секций, где:

1. «Двойная мозаика» означает, что каждая секция мозаики полностью покрыта частями ровно из двух плиток, и что все плитки полностью лежат внутри этой мозаики.

2. Плитки представляют собой равные треугольники.

3. Каждая плитка уникальна.

4. Мозаика является смежной по краям в том смысле, что все секции можно посещать по единому непрерывному пути, который остается внутри мозаики, пересекая края плитки от секции к секции, не касаясь ни одной вершины.

Во втором примере четыре перекрывающихся конгруэнтных треугольника 30 ° - 60 ° - 90 ° образуют мозаику из 4 частей, где, кроме того:

1. Каждый угол равен целому числу градусов.

2. Нет четких линий, параллельных друг другу. (Однако параллельные края плитки могут лежать на одной непрерывной линии.)

Баунти проблемы, достижимость неизвестна

• Дважды выложите мозаику, отличную от второго примера выше, которая соответствует всем 6 рекомендациям и не имеет отверстий.

• Двойная плитка - мозаика, которая соответствует всем 6 рекомендациям и чей контур не является двусторонне симметричным .

(Все интересные двойные мозаики, включая те, которые содержат менее 901 раздела и / или те, которые игнорируют некоторые из вышеперечисленных рекомендаций, заслуживают голосов одобрения.)

Answer 1

У меня есть подозрение, что предполагаемое решение может быть чем-то вроде

Это 45 грамм, 45 - наибольшее нечетное число, которое все еще учитывает целые углы. Странно избегать параллельных линий. Максимально скручивая 45-граммовый, то есть выбирая тот, у которого максимальное количество полных витков (22), мы максимизируем количество секций, на которые каждая плитка разделяется (21), всего чуть более 900. Вся фигура по конструкции не имеет параллельные линии. Две мозаики получаются вращением треугольника вокруг центра (в частности, все они конгруэнтны и ориентированы по-разному) и зеркальным отражением. Непрерывность ребер также легко проверить, поскольку у нас есть все, кроме самого внутреннего кольца и территории за пределами двух крайних колец точек пересечения, чтобы свободно перемещаться. Пожалуйста, обвините OP, если вы обнаружите, что изображение слишком загружено ;-D

Для большей ясности вот несколько небольших примеров:

n = 7: не сплошные края, не целые углы, (n-3) / 2 = 2 секции на плитку

n = 9: не непрерывные кромки, целые углы, (n-3) / 2 = 3 секции на плитку

n = 11 : непрерывная кромка, нецелые углы, (n-3) / 2 = 4 секции на плитку

Answer 2

(Вики сообщества - не стесняйтесь добавлять или редактировать.)

Вместо подсказок из задачи пазла вот пара почти-решений, которые соответствуют большинству рекомендаций, но не всем. Десять совпадающих треугольников 36 ° - 72 ° - 72 ° образуют двойную плитку непрерывной мозаики из 10 секций, но треугольники не имеют однозначной ориентации, и мозаика имеет 5 пар параллельных линий :

Двенадцать однозначно ориентированных конгруэнтных треугольников 30 ° - 60 ° - 90 ° образуют сплошную мозаику из 12 частей, которая при этом включает 6 пар параллельных линий :