Если $ \bigtriangleup ABC$: $\angle CAB = \frac{\pi}{2}$, с высотой $AD$ и медиана $AK$. Доказать $\angle BAD = \angle BCA = \angle KAC.$
Если $\triangle ABC$ это треугольник и $\angle CAB = \frac{\pi}{2}$, с высотой $AD$ и медиана $AK$; Предположим, что$D$ находится между $B$ и $K$.
- Докажи это $\angle BAD = \angle BCA = \angle KAC$.
- Затем докажите, что $\angle BCA= \frac\pi 8$ если $|AD|=|DK|$.
- Сделайте вывод, что $$\sin\frac \pi 8=\frac{\sqrt{2-\sqrt 2}}{2};\quad \cos\frac \pi 8=\frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}{2};\quad \operatorname{tg}\frac \pi 8= \sqrt 2 - 1$$
Я уже добился ничьей, но толком не знаю, с чего начать.
я знаю это $\bigtriangleup DBA \sim \bigtriangleup DAC$
Ответы
Рассмотрим описанную окружность $\triangle ABC$. поскольку$\angle A=\frac{\pi}{2}$, он увеличивает диаметр, таким образом $K$ это центр описанной окружности и $$KA=KB=KC\tag{1}$$
- поскольку $\triangle KCA$ равнобедренный, $\angle KCA=\angle KAC$.
В$\triangle ABD$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$, таким образом $\angle BAD=\frac{\pi}{2}-\angle ABD$, но $\frac{\pi}{2}-\angle ABC=\angle ACB$, таким образом $\angle BAD=\angle ACB=\angle KAC$, QED. - В $\triangle ADK$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$, таким образом $|AD|=|DK|$ $\Rightarrow$ $\angle A=\angle K=\frac{\pi-\angle D}{2}=\frac{\pi}{4}$.
поскольку$\frac{\pi}{4}=\angle AKD=\angle KAC+\angle KCA$ и $\angle KAC=\angle KCA$, таким образом $\angle ACK=\frac{\pi}{8}$, QED. - В $\triangle ADC$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$ и $AK=KC=AD\sqrt{2}$ таким образом $$\tan \frac{\pi}{8}=\frac{AD}{DK+KC}=\frac{AD}{AD+AD\sqrt{2}}= \frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1,$$ другие функции $\frac{\pi}{8}$ делаются с использованием $$\frac{1}{\cos^2\theta}=1+\operatorname{tg}^2\theta,\quad \frac{1}{\sin^2\theta}=1+\operatorname{ctg}^2\theta.$$
Позволять $D$ быть помещенным между $K$ и $B$.
Таким образом, поскольку $AK$ является медианой, получаем $$AK=CK=KB,$$ который дает $$\measuredangle BAD=90^{\circ}-\measuredangle ABC=\measuredangle BCA=\measuredangle KAC.$$
Поскольку вы поняли, что $\triangle DBA \sim \triangle DAC$, используйте то свойство, что соответствующие углы одинаковых треугольников равны. Также обратите внимание, что$AK=KC$, следовательно $\triangle KAC$ равнобедренный.
Если $AD=DK$, у нас есть $\angle DKA=\angle KAD=45°\implies\angle AKC=135°$. Таким образом,$\triangle KAC$ будучи равнобедренными, мы имеем $\angle BCA=22.5°=\frac{π}{8}$.
У нас есть $AK=KC=\frac{a}{2}\implies AD=DK=\frac{a}{2\sqrt 2}$. В$\triangle ADC$, $$\tan\angle DCA=\tan\frac{π}{8}=\sqrt 2-1$$