Если $ \bigtriangleup ABC$: $\angle CAB = \frac{\pi}{2}$, с высотой $AD$ и медиана $AK$. Доказать $\angle BAD = \angle BCA = \angle KAC.$

Aug 18 2020

Если $\triangle ABC$ это треугольник и $\angle CAB = \frac{\pi}{2}$, с высотой $AD$ и медиана $AK$; Предположим, что$D$ находится между $B$ и $K$.

  1. Докажи это $\angle BAD = \angle BCA = \angle KAC$.
  2. Затем докажите, что $\angle BCA= \frac\pi 8$ если $|AD|=|DK|$.
  3. Сделайте вывод, что $$\sin\frac \pi 8=\frac{\sqrt{2-\sqrt 2}}{2};\quad \cos\frac \pi 8=\frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}{2};\quad \operatorname{tg}\frac \pi 8= \sqrt 2 - 1$$

Я уже добился ничьей, но толком не знаю, с чего начать.

я знаю это $\bigtriangleup DBA \sim \bigtriangleup DAC$

Ответы

AlexeyBurdin Aug 18 2020 at 15:21

Рассмотрим описанную окружность $\triangle ABC$. поскольку$\angle A=\frac{\pi}{2}$, он увеличивает диаметр, таким образом $K$ это центр описанной окружности и $$KA=KB=KC\tag{1}$$

  1. поскольку $\triangle KCA$ равнобедренный, $\angle KCA=\angle KAC$.
    В$\triangle ABD$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$, таким образом $\angle BAD=\frac{\pi}{2}-\angle ABD$, но $\frac{\pi}{2}-\angle ABC=\angle ACB$, таким образом $\angle BAD=\angle ACB=\angle KAC$, QED.
  2. В $\triangle ADK$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$, таким образом $|AD|=|DK|$ $\Rightarrow$ $\angle A=\angle K=\frac{\pi-\angle D}{2}=\frac{\pi}{4}$.
    поскольку$\frac{\pi}{4}=\angle AKD=\angle KAC+\angle KCA$ и $\angle KAC=\angle KCA$, таким образом $\angle ACK=\frac{\pi}{8}$, QED.
  3. В $\triangle ADC$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$ и $AK=KC=AD\sqrt{2}$ таким образом $$\tan \frac{\pi}{8}=\frac{AD}{DK+KC}=\frac{AD}{AD+AD\sqrt{2}}= \frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1,$$ другие функции $\frac{\pi}{8}$ делаются с использованием $$\frac{1}{\cos^2\theta}=1+\operatorname{tg}^2\theta,\quad \frac{1}{\sin^2\theta}=1+\operatorname{ctg}^2\theta.$$
MichaelRozenberg Aug 18 2020 at 13:58

Позволять $D$ быть помещенным между $K$ и $B$.

Таким образом, поскольку $AK$ является медианой, получаем $$AK=CK=KB,$$ который дает $$\measuredangle BAD=90^{\circ}-\measuredangle ABC=\measuredangle BCA=\measuredangle KAC.$$

SarGe Aug 18 2020 at 15:11
  1. Поскольку вы поняли, что $\triangle DBA \sim \triangle DAC$, используйте то свойство, что соответствующие углы одинаковых треугольников равны. Также обратите внимание, что$AK=KC$, следовательно $\triangle KAC$ равнобедренный.

  2. Если $AD=DK$, у нас есть $\angle DKA=\angle KAD=45°\implies\angle AKC=135°$. Таким образом,$\triangle KAC$ будучи равнобедренными, мы имеем $\angle BCA=22.5°=\frac{π}{8}$.

  3. У нас есть $AK=KC=\frac{a}{2}\implies AD=DK=\frac{a}{2\sqrt 2}$. В$\triangle ADC$, $$\tan\angle DCA=\tan\frac{π}{8}=\sqrt 2-1$$