Если $f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, как макс { $f$, $g$} определены?

Aug 20 2020

В настоящее время я читаю учебник по метрическим пространствам и наткнулся на следующую терминологию для двух функций, которую я нигде не могу найти, как она определяется.

Позволять $f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, как макс {$f$,$g$} определены? аналогично, как min {$f,g$} определены?

Я думаю о макс {$f$,$g$}: это означает просто взять максимальные значения $f$ и $g$и max {$f$,$g$} состоит из всех этих значений. Аналогично, чтобы взять минимальные значения$f$ и $g$and min {$f,g$} состоит из всех этих значений.

Мотивация для этого заключается в том, что я столкнулся с проблемой, где он спросил: учитывая два показателя $d_1$ и $d_2$ (за $(X_1,d_1)$ и $(X_2,d_2)$соответственно) max {$d_1$,$d_2$} показатель на $X_1 \times X_2$? Однако, чтобы начать отвечать на этот вопрос, мне нужно дать определение терминологии, с которой я не знаком.

Ответы

3 VictorHugo Aug 20 2020 at 20:53

Для каждого фиксированного $x$, $\max\{f(x),g(x)\}$ это наибольшее число между двумя действительными числами $f(x)$ и $g(x)$. Определение$\varphi(x)=\max\{f,g\}(x)=\max\{f(x),g(x)\}$ можно доказать, что $ \varphi(x)=\frac{1}{2}[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]$.

2 EricTowers Aug 20 2020 at 20:54

Это следует обычному шаблону для арифметики функций .

  • $f+g$ это функция $x \mapsto f(x) + g(x)$.
  • $f-g$ это функция $x \mapsto f(x) - g(x)$.
  • $f\cdot g$ это функция $x \mapsto f(x) \cdot g(x)$.
  • $f/g$ это функция $x \mapsto f(x) / g(x)$.
  • $\max\{f,g\}$ это функция $x \mapsto \max \{f(x), g(x)\}$.

То есть функциональные выражения связывают все слоты переменных домена с одним слотом домена.

1 Cornman Aug 20 2020 at 20:55

Это определено так, как и следовало ожидать. Имейте в виду, что у вас есть функции$f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$

Когда вы оцениваете обе функции в $x$вы получите реальное число. Так ты можешь взять$\max\{f(x),g(x)\}$, и специального определения не требуется, потому что все происходит на реальных числах, и я уверен, что вы определили максимум.

Также имейте в виду, что $\max(x,y)=\min(-x,-y)$, так что вам не нужно второе определение.

А максимум два реала определяется как:

$\max(x,y)=\begin{cases}x,~\text{if}\quad y\leq x\\ y~~~\text{else}\end{cases}$

1 user798202 Aug 20 2020 at 21:15

Как показывают многие другие ответы, $\max\{f,g\}$определяется поточечно .

Для проблемы, которая вас мотивирует, найдите ответ на этот вопрос: Максимум два показателя - это показатель.

АлександрПальма Aug 20 2020 at 20:56

Учитывая две функции $f,g: X\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, мы можем определить максимум $\max(f,g):X\to \mathbb{R}$ по $$\max(f,g)(x):=\max(f(x),g(x)),$$и их минимум $\min(f,g)(x):X\to \mathbb{R}$ по $$\min(f,g)(x):=\min(f(x),g(x)).$$