Если $f: \mathbb N \rightarrow \mathbb N \times \mathbb N $ такие как $f(n)=(n,n+1)$ Это сюръективно и / или инъективно?

Aug 19 2020

Если $f: \mathbb N \rightarrow \mathbb N \times \mathbb N $ такие как $f(n)=(n,n+1)$ Это сюръективно и / или инъективно?

Я знаю что это сюръективно $\Leftrightarrow \forall (a,b) \in \mathbb N \times \mathbb N \exists c \in \mathbb N:f(c)=f(a,b)$

Это очевидно инъективно, потому что если $(n,n+1)=(m,m+1) \rightarrow n=m$

Я вижу, что это не сюръективно, но не знаю, как это доказать, могу ли я получить помощь?

Ответы

9 ilovebulbasaur Aug 19 2020 at 13:04

Рассматривать $(1,1)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$. Предположим от противного, что существует$n\in\mathbb{N}$ с участием $f(n)=(n,n+1)=(1,1)$. Затем, читая первую запись, получаем$n=1$. Читая вторую запись, получаем$n+1=1\implies n=0$. Ясно, что мы не можем$n=1$ и $n=0$в то же время. Противоречие. Следовательно$f$ не сюръективно.