Если $M$ является стандартной классовой моделью ZFC, изоморфной $V$, то это $M = V$?
Рассмотрим следующее утверждение: (T) «Если $M$ является стандартной классовой моделью ZFC, изоморфной $V$, тогда $M = V$. »Утверждение (T) эквивалентно:« Если транзитивный коллапс стандартной модели класса $M$ ZFC равно $V$, тогда $M = V$. "Это потому, что переходный крах класса $M$ - единственный транзитивный класс, поэлементно изоморфный $M$.
Здесь под стандартной моделью классов ZFC я подразумеваю модель классов ZFC, отношение элементности которой является реальным отношением элементности.
Предположим, что ZFC согласован. ZFC доказывает (T)? ZFC опровергает (T)? Если нет и того, и другого, опровергает ли ZFC некоторая дополнительная аксиома большого кардинала (T)?
Ответы
Нет. Определить $F:V\to V$ по $\in$-рекурсия как $F(x)=\{F(y):y\in x\}\cup\{\emptyset\}$. Ясно$F(x)$ непусто для всех $x$. Также,$F$ инъективно: если $F(x)=F(x')$, то индукцией по $\max(\operatorname{rank}(x),\operatorname{rank}(x'))$ мы можем предположить $F$ инъективен на $x\cup x'$. поскольку$F(x)=F(x')$ мы должны иметь $\{F(y):y\in x\}=\{F(y):y\in x'\}$, но с тех пор $F$ инъективен на $x\cup x'$ Из этого следует $x$ и $x'$ имеют одинаковые элементы и поэтому $x=x'$. Также ясно$y\in x$ подразумевает $F(y)\in F(x)$, а обратное следует из инъективности $F$.
Все вместе это показывает, что $F$ является изоморфизмом из $(V,\in)$ к $(M,\in)$ где $M$ это изображение $F$. Но$M\neq V$, поскольку $\emptyset\not\in M$.