Если верхняя сторона черная, какова вероятность того, что другая сторона будет белой?
Вопрос : Шляпа состоит из нескольких карточек, из которых 30% белого с обеих сторон, 50% черного с одной стороны и белого с другой, 20% черного с обеих сторон. Карты перемешиваются, затем случайным образом вытягивается одна карта и кладется на стол. Если верхняя сторона черная, какова вероятность того, что другая сторона будет белой?
Моя попытка : используя определение условной вероятности, мы получаем,$P(W|B)=\frac{P(W\cap B)}{P(B)}=0.5/0.7=5/7$
Но на самом деле ответ - 5/9. Где я неправ?
Ответы
Это не так просто.
Вероятность того, что верхняя сторона выбранной карты черная, невелика. $0.7$ и вот почему:
Существует $0.2$шанс, что мы выберем карту, которая с обеих сторон черная. Достаточно просто ... Однако, когда мы введем$0.5$шанс получить черно-белую карту, нам нужно учитывать, какая сторона обращена вверх. Казалось бы естественным предположить, что обе стороны могут оказаться в выигрыше с равной вероятностью. Итак, есть$0.5^2$вероятность того, что выбрана черно-белая карта и черная сторона обращена вверх, в результате чего общая вероятность того, что черная сторона является верхней стороной выбранной карты, равна$0.2 + 0.5^2$
Теперь, когда этот факт стал известен, возможно, вы сможете решить эту проблему здесь!
Один из способов подумать об этом - вместо этого анализировать события, определяющие, какая карта выбрана + ее ориентация. Таким образом, вместо 3 событий (WW, BW, BB) у нас есть 4 события (WW, BW, WB, BB).
Тогда вероятности равны
WW: 30%
МТ: 25%
ВБ: 25%
BB: 20%
Когда мы берем случайную карту и размещаем ее в произвольной ориентации, мы видим, что она черная сверху, так что это может быть либо BW, либо BB. Существует 25% вероятность появления BW и 20% вероятность появления BB, поэтому у нас есть$\frac{25}{25+20} = \frac{5}{9}$.
Я бы подумал об этом не как о выборе карты, а как о выборе стороны (какой-то карты). И давайте представим, что у нас есть$100$карты. Итак, вы случайным образом выбираете один из$200$стороны. Тогда есть$50\cdot1+20\cdot2=90$черные бока. Из тех,$50$идут с белым с другой стороны. Так$\frac{50}{90} = \frac{5}{9}$ шанс для белых на другой стороне.