Есть ли какой-нибудь специальный математический инструмент или математическая область, которая полезна для изучения или создания доказательства иррациональности?
Кажется, что вообще иррациональность или трансцендентальные доказательства какой-то "трудной" константы, вроде $e,\pi$ или же $e^\pi$, полагается на то, чтобы показать, что в $(0,1)$. Но, похоже, нет последовательного способа разрешить это противоречие.
Своего рода последовательное доказательство иррациональности (возможно, единственное) - это использование «интегралов Бойкерса», которые можно использовать, чтобы показать, что следующие числа иррациональны: $\ln 2, e, \pi^2, \zeta(2),\zeta(3) $. По сути, вам нужно построить интеграл$I_n$, такое что, $I_n = (a_n\xi+b_n)/d_n$, где $a_n,b_n,d_n$ целые числа и $d_nI_n \to 0$ в виде $n$становится больше, показывая целое число от нуля до единицы. Однако я думаю, что этот метод доил до смерти и достиг своего предела.
Доказательство Апери для$\zeta(3)$использует для этого быстрый сходящийся ряд. Но кажется, что это доказательство является «изолированным» в том смысле, что его нельзя воспроизвести на другой константе. Похоже, все доказательства иррациональности в этом смысле «изолированы». Все они не имеют сходства, за исключением упомянутого метода Бойкерса.
Есть ли какой-нибудь специальный математический инструмент или математическая область, которая полезна для изучения или создания доказательства иррациональности?
Например, эта статья включает некоторые общие и частные результаты по трансцендентной теории чисел с некоторыми доказательствами.
Ответы
Конечно, несколько областей являются многообещающими для поиска доказательства, например, гипотезы о том, что $\zeta(3),\zeta(5),\zeta(7),\ldots$все иррациональны. В частности, могут быть полезны теоретико-числовые методы в сочетании с комбинаторикой (асимптотические методы). Это подтверждается доказательством Зудилина , который этими методами показал следующий результат:
Предложение: одно из чисел$ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11)$ иррационально.
Он также имеет очень элементарное доказательство более слабый результат здесь .