Есть ли название для аффинно-расширенных комплексных чисел?
Рассмотрим способ $\widehat{\mathbb R}$ имеет отношение к $\overline{\mathbb R}$. Этот набор будет относиться к$\widehat{\mathbb C}$ аналогичным образом с $\aleph_1$ бесконечности, каждая под разными углами, образуя что-то вроде круга с бесконечным радиусом, заключающего в себе комплексную плоскость.
Такой набор можно было бы определить как: $$ \overline{\mathbb C}=\mathbb C \cup \left\{ x : (\exists \theta \in [0,2\pi)) \left[x=\lim_{r\to\infty} re^{i\theta} \right] \right\} $$
Я не уверен, что приведенное выше определение является строгим, но я чувствую, что оно передает суть. Можно ли каким-то образом четко определить эту структуру и есть ли у нее обычное название?
Обратите внимание, что я не говорю о $\widehat{\mathbb C}$, который содержит единственную точку на бесконечность, подобную проективно продолженной вещественной прямой.
Ответы
Я думаю то, о чем вы говорите, очень похоже $\Bbb RP^2$, реальное проективное 2-пространство. Для каждого возможного «направления» на плоскости есть точка на бесконечности.
Различие в том, что в $\Bbb RP^2$, бесконечно удаленная точка для прямых под углом $\theta$ то же самое, что и для линий под углом $\theta + \pi$. Возможно, то, к чему вы действительно пришли, называется «закрытый единичный диск» с точками на$\partial D$в соответствии с вашими точками на бесконечности. Но это диск с некоторой базовой геометрией и т. Д., Который не входит в стандартное встраивание.
На самом деле это было довольно тщательно изучено в докторской диссертации Хорхе Стольфи в Стэнфорде. Это называется ориентированной проективной геометрией , и я думаю, что она была опубликована IEEE, но это было давно, поэтому я не уверен в последней части. Во всяком случае, для вас есть надежная рекомендация. Вот ссылка на него на Amazon:https://www.amazon.com/Oriented-Projective-Geometry-Framework-Computations/dp/148324704X