Есть ли стандартный способ снабдить сигма-алгебру сигма-алгеброй?

Question

Предположим $(X, \mathcal X)$измеримое пространство. Я хотел бы сказать кое-что об измеримых функциях, принимающих значения в$\mathcal X$, но для этого мне нужно $\mathcal X$ быть оснащенным сигма-алгеброй.

Есть ли канонический способ оснащения $\mathcal X$ с сигма-алгеброй $\mathcal F_\mathcal X$ так что мы можем говорить об измеримых функциях из $(X, \mathcal X)$ к $(\mathcal X, \mathcal F_\mathcal X)$?

Некоторые идеи, которые пришли мне в голову:

(1) $\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X\}$. Но я не вижу, чтобы это закрыто под дополнениями.

(2) $\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X \ \text{or} \ \bigcap A \in \mathcal X\}$. Но я не вижу, чтобы это было закрыто при счетных союзах.

Answer 1

Насколько мне известно, стандартного подхода к построению такой измеримой структуры не существует.

Нам нужно было что-то подобное для какой-то работы, обобщающей марковские процессы принятия решений (с точки зрения информатики) с «недетерминизмом». Вы можете проверить ссылку в arXiv ( DOI ).

Определение, которое помогло нам, состояло в том, чтобы объявить некоторую подмножество $\mathcal{X}$ измеримо, если он находится в $\sigma$-алгебра $H(\mathcal{X})$ порожденные множествами $H_\xi := \{\theta\in \mathcal{X} : \theta \cap \xi \neq \varnothing\}$, где $\xi$ колеблется над $\mathcal{X}$. Это главным образом мотивируется построением измеримого гиперпространства замкнутых подмножеств топологического пространства.

На самом деле, ограничиваясь некоторым подходящим подмножеством $\mathcal{X}$ кажется более разумным, так как в результате $\sigma$-алгебра огромна: Если я правильно помню, однажды $X$ бесконечно и $\mathcal{X}$ разделяет точки, затем $H(\mathcal{X})$ не может быть сгенерирован счетным образом.