Это правда, что $ \lim_{x\to0}\frac{f'\left(x\right)-\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}}{x}=\frac{f''\left(0\right)}{2} $ [дубликат]

Question

Позволять $ f $ - функция такая, что $ f'' $ существует в $ x=0 $.

Это правда, что :

$$ \lim_{x\to0}\frac{f'\left(x\right)-\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}}{x}=\frac{f''\left(0\right)}{2} ~~?$$

Я почти уверен, что для того, чтобы это было правдой, $ f'' $должен быть непрерывным, чего не дано. Но я пытаюсь найти контрпример. Мне нужно найти функцию, которая будет дважды дифференцируемой, но$ f'' $ не является непрерывным (если я понял ситуацию).

Буду признателен за помощь. Заранее спасибо.

Answer 1

Вы можете использовать расширение Тейлора: $$ f(x)=f(0)+xf'(0)+x^2f''(0)/2+x^2\sigma(x) $$ где $\lim_{x\to0}\sigma(x)=0$. потом\begin{align} \frac{1}{x}\Bigl(f'(x)-\frac{f(x)-f(0)}{x}\Bigr) &= \frac{1}{x^2}\Bigl(xf'(x)-xf'(0)-x^2f''(0)/2-x^2\sigma(x)\Bigr)\\[6px] &=-\frac{f''(0)}{2}-\sigma(x)+\frac{f'(x)-f'(0)}{x} \end{align}Непрерывность второй производной не требуется; достаточно, чтобы (первая) производная существовала в окрестности$0$ и дифференцируема при $0$.

Answer 2

поскольку

$${f'(x)-{f(x)-f(0)\over x}\over x}={f'(x)-f'(0)\over x}-{f(x)-f(0)-xf'(0)\over x^2}$$

и

$$\lim_{x\to0}{f'(x)-f'(0)\over x}=f''(0)$$

достаточно показать, что

$$\lim_{x\to0}{f(x)-f(0)-xf'(0)\over x^2}={f''0)\over2}$$

Это можно сделать одним нанесением L'Hopital:

$$\lim_{x\to0}{f(x)-f(0)-xf'(0)\over x^2}=\lim_{x\to0}{f'(x)-f'(0)\over2x}={f''0)\over2}$$

(Последний шаг - это не еще один раунд L'Hopital, это определение второй производной. Единственное условие, которое здесь требует L'Hopital, - это то, что первая производная определена в окрестности $0$, которое должно быть выполнено, чтобы $f''(0)$ существовать.)