$f$ непрерывно тогда и только тогда, когда $G(f)$ замкнутое множество в метрических пространствах [дубликат]

Dec 31 2020

График $f$ является $G(f) = \{(x,f(x)) : x\in X\} \subseteq X\times Y$

$X$ и $Y$ метрические пространства. $Y$ компактный.

$f$ непрерывно тогда и только тогда, когда $G(f)$ замкнутое множество.

Я получил ближайший ответ здесь , но я попробовал это сам первым и застрял в одной точке , и мне нужна помощь по этой конкретной ситуации , которую я не получал нигде /

$\Rightarrow$ часть: Пусть $(z_n)=(x_n,f(x_n))\in G_f$ - сходящаяся последовательность $G(f)$. Если$(x,y)$это его предел. Мы должны показать, что$y=f(x)$ другими словами $(x,y)\in G_f$.

$x_n \to x$ $\Rightarrow$ $f(x_n)\to f(x)$[По преемственности $f$.] $\Rightarrow f(x)=y$по единственности лимита. Следовательно$G_f$ закрыто.

$\Leftarrow$ часть: Пусть $x\in X$ и $(x_n)$ сходящаяся последовательность с пределом $x$. Вы должны доказать, что$(f(x_n))$ сходится в $Y$ с лимитом $f(x)$. Я использовал последовательность$z_n=(x_n,f(x_n))$ и $G_f$ замкнуто в компактном пространстве $Y$ и, следовательно $G_f$компактный. Тогда есть подпоследовательность$(x_{n_k},f(x_{n_k})) \to (x,y)\in G_f$. Тогда у нас будет$y=f(x)$ но как мне доказать это $f(x_n) \to f(x)$? Верно, что каждая подпоследовательность$f(x_n)$ имеет подпоследовательность, сходящуюся к $f(x)$.

Ответы

1 Ri-Li Dec 31 2020 at 22:15

Из комментария я получил ответ, который исходит из этой леммы:

Лемма. Пусть$Y$ - компактное метрическое пространство и $(y_n)$ последовательность, члены которой принадлежат $Y$. Если каждая сходящаяся подпоследовательность$(y_n)$сходится к тому же пределу$\ell\in Y$, тогда $(y_n)$ сходится к $\ell$.

Доказательство. Предположим противное. Тогда существует$\epsilon>0$, такое, что:

$$\forall N\in\mathbb{N},\,\exists n\ge N;\,d(y_n,\ell)>\epsilon$$

Это позволяет нам построить подпоследовательность $(y_{n_k})$ такой, что:

$$\forall k\in\mathbb{N},d(y_{n_k},\ell)>\epsilon$$

Теперь извлеките из $(y_{n_k})$ сходящаяся подпоследовательность: ее предел $\ell$ из гипотезы и, следовательно, получаем $0=d(\ell,\ell)\ge\epsilon$ ...

Противоречие!

Теперь кто-то может закрыть этот ответ, но я могу оставить его в своей записи, и если кто-то будет действовать таким образом. Они получат от этого помощь. Я задал этот вопрос, потому что проверял один из очевидных способов, которые могут прийти нам в голову. Большое спасибо!