Формула интегрирования по частям $\int f'g = - \int fg'$ для непрерывных функций ограниченной вариации с компактным носителем?

Aug 19 2020

Предположим, что $f:\mathbb R \to \mathbb C$ - непрерывная функция ограниченной вариации с носителем в $[-T,T]$. Мы знаем это$f$дифференцируема почти всюду. Далее, пусть$g \in C^\infty(\mathbb R)$быть ограниченным. Формула интегрирования по частям$$ \int f'(x)g(x) \,dx = -\int f(x)g'(x) \, dx $$ верно?

Ответы

4 Rigel Aug 19 2020 at 09:57

Позволять $T > 1$ и разреши $f = \chi_{[0,1]}$ быть характеристической функцией $[0,1]$. потом$$ \int_{-T}^T f g' = \int_0^1 g' = g(1) - g(0). $$ С другой стороны, поскольку $f' = 0$ ае, $$ \int_{-T}^T f' g = 0. $$

Если мы поймем $f'$ как мерозначная производная $Df$ функции BV, то $Df = \delta_0 - \delta_{-1}$, и $$ \int_{-T}^T g\, Df = g(0) - g(1), $$ что совпадает с $-\int_{-T}^T f g'$.