Гамма и бета-функция доказательство

Question

Бета функция определяется интегралом$$B(\alpha,\beta)=\int_0^1x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\,{\rm d}x~~~~(\operatorname{Re}\alpha,\operatorname{Re}\beta>0)$$ Оценивая $\int_0^\infty\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}y^{\beta-1}e^{-y}\,{\rm d}x\,{\rm d}y$ двумя разными способами показать, что $$\Gamma(a)\Gamma(\beta)=\Gamma(\alpha+\beta)B(\alpha,\beta)$$

У меня есть доказательство связи между гамма-функцией и бета-функцией, но после того, как вы замените первый раз и поменяете местами интегралы, почему функция становится $x^{\alpha+\beta-1}$ после расчесывания $x^{\alpha-1}$ и $x^{\beta-1}$ не должно быть $x^{\alpha+\beta-2}$?

$$\begin{align*} \Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)&=\int_0^\infty x^{\color{blue}{\alpha-1}}e^{-x}\left(\int_0^\infty y^{\color{blue}{\beta-1}}e^{-y}\,{\rm d}y\right)\,{\rm d}x\\ &=\int_0^\infty x^{\color{blue}{\alpha+\beta-1}}e^{-x}\left(\int_0^\infty t^{\beta-1}e^{-tx}\,{\rm d}y\right)\,{\rm d}x&&(\text{put } y=tx)\\ &=\int_0^\infty t^{\beta-1}\left(\int_0^\infty x^{\alpha+\beta-1}e^{-(t+1)x}\,{\rm d}x\right)\,{\rm d}t\\ &=\int_0^\infty\frac{t^{\beta-1}}{(1+t)^{\alpha+\beta}}\left(\int_0^\infty u^{\alpha+\beta-1}e^{-u}\,{\rm d}u\right)\,{\rm d}t&&\left(\text{put }x=\frac u{1+t}\right)\\ &=\Gamma(\alpha+\beta)\int_0^\infty\frac{t^{\beta-1}}{(1+t)^{\alpha+\beta}}\,{\rm d}t \end{align*}$$

Answer 1

Рассмотрим ключевую линию более подробно. Замена$y=tx$ дает $$\int_0^\infty y^{\beta-1}e^{-y}\,{\rm d}y\stackrel{y=tx}=\int_0^\infty(tx)^{\beta-1}e^{-tx}\color{red}{x}\,{\rm d}t=x^{\beta}\int_0^\infty t^{\beta-1}e^{-tx}\,{\rm d}t$$ Как видите, у нас есть $x^{\beta-1}\cdot x=x^\beta$ откуда дополнительные $-1$исчезает. Это все.

Answer 2

Я думаю, будет проще, если вы сделаете это, используя рассказ, а не сложные интегралы. Представьте себе два гамма-распределения$X \sim Gamma(a, \lambda)$ и $Y \sim Gamma(b, \lambda)$.

Используя эти два, вычислите сустав $f_{T,W}(t,w)$ распространение:

$T = X + Y$ и $W = \frac{X}{X+Y}$.

В качестве истории представьте двух клерков, работающих в банке, и у обоих одинаковые ставки. $\lambda$. T - это общее время ожидания для человека, которому приходится иметь дело с обоими клерками, а W - это доля, которую человек ждет первого клерка.

Из совместного распределения будет ясно, что это продукт двух независимых распределений, одно из которых $Beta$. Это также намного легче запомнить.