Идеальная норма в заказах
Позволять $\overline{T}$ кольцо Дедекинда такое, что $\overline{T}/\overline{I}$ конечно для любого ненулевого идеала $\overline{I}$ из $\overline{T}$. Позволять$T$ быть подкольцом $\overline{T}$ с таким же полным кольцом дробей (т.е. порядком).
Позволять $I$ быть идеалом $T$ и разреши $\overline{I} = I\overline{T}$. норма $N_T(I)$ из $I$ определяется как мощность $T/I$.
Вопрос: Есть ли формула, относящаяся к$N_T(I)$ и $N_{\overline{T}}(\overline{I})$?
Например, кажется правдоподобным, что расхождение измеряется какой-то группой «тор».
Примечания:
- Если $I$ проективно, то $N_T(I)$ и $N_{\overline{T}}(\overline{I})$ равны.
- Локализация сводит проблему к случаю, когда $T$ местный (и $\overline{T}$ полулокально), и оба $I$ и дирижер $T$ настоящие идеалы.
- (Спасибо Люку Гайоту) Если $T$является бассово ($\leftrightarrow$ каждое промежуточное кольцо $T \subset R \subset \overline{T}$ Горенштейн $\leftrightarrow$ каждый идеал порождается двумя элементами) и $T = \{a \in \overline{T} : a I \subset I \}$, то по [2, предложение 5.8] $I$проективно. Это следует из того$N_T(I)$ и $N_{\overline{T}}(\overline{I})$ равны (по первому замечанию).
- (обобщение третьего замечания), если $T$является горенштейновой областью целостности и$T = \{a \in \overline{T} : a I \subset I \}$, тогда $I$проективно. Это следует из объединения теоремы 6.2 (4) с предложением 7.2 из [1]. Это следует из того$N_T(I)$ и $N_{\overline{T}}(\overline{I})$ равны (по первому замечанию).
[1] Х. Басс, "О повсеместности колец Горенштейна", 1963.
[2] Л. Леви и Р. Виганд, «Дедекиндово поведение колец с 2-порожденными идеалами», 1985.
Ответы
Я начну с общего замечания, которое будет проиллюстрировано вычислением поля квадратичных чисел в произвольном порядке.
Если $\overline{I}$ контракты с $I$, т. е. если $\overline{I} \cap R = I$, то включение $R \rightarrow \overline{R}$ вызывает инъективный $R$-модульный гомоморфизм $R/I \rightarrow \overline{R}/\overline{I}$. Как результат,$N_R(I)$ разделяет $N_{\overline{R}}(\overline{I})$ и в частности у нас есть $N_R(I) \le N_{\overline{R}}(\overline{I})$. Если, например,$I$ простой идеал, то $N_R(I)$ разделяет $N_{\overline{R}}(\overline{I})$.
Основной вопрос, на который я не могу ответить:
Вопрос. Всегда ли правда, что$N_R(I)$ разделяет $N_{\overline{R}}(\overline{I})$, или, по крайней мере, что $N_R(I) \le N_{\overline{R}}(\overline{I})$?
Редактировать. Ответ OP содержит доказательство того, что$N_R(I) \le N_{\overline{R}}(\overline{I})$ выполняется для любого ненулевого идеала $R$.
Я не буду касаться вышеуказанного вопроса. Вместо этого я введу условие для$R$ под которым $N_R(I)$ разделяет $N_{\overline{R}}(\overline{I})$ для любого ненулевого идеала $I$ из $R$.
Предложение. Если ненулевой идеал$I$ из $R$ проективен над своим кольцом мультипликаторов $\varrho(I) \Doteq \{ r \in \overline{R} \, \vert \, rI \subseteq I\}$, то имеем $$ N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_R(I) \vert \varrho(I)/R \vert. $$
Примечание. это$\varrho(I) = \{ r \in K \, \vert \, rI \subseteq I\}$ где $K$ обозначает поле дробей $R$, поскольку $R$ Нётериан.
Лемма 1 (утверждение ОП) . Если$I$ является обратимым идеалом $R$ тогда $N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_R(I)$.
Доказательство. Сначала докажем утверждение для ненулевого главного идеала$I$. Затем разложите$R$-модуль конечной длины $\overline{R}/\overline{I}$ как прямую сумму его локализаций относительно максимальных идеалов $R$[4, теорема 2.13]. Сделайте то же самое для$R/I$ и сравните мощности слагаемых.
Доказательство предложения. По лемме 1 имеем$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_{\varrho(I)}(I)$. Следовательно$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = [\varrho(I) : R][R: I] = \vert \varrho(I)/R\vert N_R(I)$.
Обратите внимание, что если $R$ является порядком, идеалы которого двупорождены (например, порядок в квадратичном поле или порядок, дискриминант которого свободен в четвертой степени [2, теорема 3.6]), то каждый ненулевой идеал $R$удовлетворяет условию приведенного выше предложения, см., например, [1], [2] и теорему 4.1, следствия 4.3 и 4.4 заметок Кита Конрада . ОП обсуждает аналогичные результаты в своих замечаниях и ответе.
Позволять $m$- рациональное целое число без квадратов. Мы установили$K \Doteq \mathbb{Q}(\sqrt{m})$ и обозначим через $\mathcal{O}(K)$ кольцо целых квадратичного поля $K$.
Слабое требование. Дан заказ$R$ из $K$ и идеал $I \subseteq R$, мы вычислим $N_{\mathcal{O}(K)}(I\mathcal{O}(K))$ как функция $N_R(I)$ и бинарной квадратичной формы, связанной с $I$.
Для этого введем некоторые обозначения и определения.
Настройка $$\omega = \left\{ \begin{array}{cc} \sqrt{m} & \text{ if } m \not\equiv 1 \mod 4, \\ \frac{1 + \sqrt{m}}{2} & \text{ if } m \equiv 1 \mod 4, \\ \end{array}\right. $$ у нас есть $$\mathcal{O}(K) = \mathbb{Z} + \mathbb{Z} \omega$$ и любой порядок $K$ имеет форму $\mathcal{O}_f(K) \Doteq \mathbb{Z} + \mathbb{Z} f \omega$ для некоторого рационального целого числа $f > 0$[2, лемма 6.1]. Более того, включение$\mathcal{O}_f(K) \subseteq \mathcal{O}_{f'}(K)$ верно тогда и только тогда, когда $f'$ разделяет $f$. Если$I$ это идеал $\mathcal{O}_f(K)$, то его кольцо множителей $\varrho(I) \Doteq \{ r \in \mathcal{O}(K) \, \vert \, rI \subseteq I\}$ это самый маленький заказ $\mathcal{O}$ из $K$ такой, что $I$ проективно, эквивалентно обратимо, как идеал $\mathcal{O}$[2, предложение 5.8]. Давайте исправим$f > 0$ и установить $$R \Doteq \mathcal{O}_f(K), \quad \overline{R} \Doteq \mathcal{O}(K).$$
Идеальный $I$ из $R$называется примитивным, если его нельзя записать как$I = eJ$ какое-то рациональное целое число $e$ и какой-то идеал $J$ из $R$.
Основным инструментом является лемма о стандартном базисе [5, лемма 6.2 и ее доказательство].
Лемма 2. Пусть$I$ быть ненулевым идеалом $R$. Тогда существуют целые рациональные числа$a, e > 0$ и $d \ge 0$ такой, что $-a/2 \le d < a/2$, $e$ разделяет оба $a$ и $d$ и у нас есть $$ I = \mathbb{Z} a + \mathbb{Z}(d + e f \omega). $$ Целые числа $a, d$ и $e$ однозначно определяются $I$. У нас есть$\mathbb{Z}a = I \cap \mathbb{Z}$ и целое число $ae$ равен норме $N_R(I) = \vert R /I \vert$ из $I$. Идеал$I$ примитивен тогда и только тогда, когда $e = 1$.
Обратите внимание, что, поскольку $\mathbb{Z}a = I \cap \mathbb{Z}$, целое рациональное число $a$ разделяет $N_{K/\mathbb{Q}}(d + e f \omega)$. Мы называем образующие пары$(a, d + ef \omega)$стандартный базис$I$. Позвольте нам ассоциировать$I$ двоичная квадратичная форма $q_I$ определяется $$q_I(x, y) = \frac{N_{K/\mathbb{Q}}(xa + y(d + ef\omega))}{N_R(I)}.$$
Тогда у нас есть $$eq_I(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2$$ с участием $$b = Tr_{K/\mathbb{Q}}(d + ef \omega) \text { and } c = \frac{N_{K/\mathbb{Q}}(d + ef \omega)}{a}.$$Определяем содержание$c(q_I)$ из $q_I$ как наибольший общий делитель его коэффициентов, то есть $$c(q_I) \Doteq \frac{\gcd(a, b, c)}{e}.$$
Замечание. У нас есть$c(q_I) = \frac{\gcd(a, d, ef)}{e} = \frac{f}{f'} = \vert \varrho(I) / R \vert$ где $f'$ является делителем $f$ такой, что $\varrho(I) = \mathcal{O}_{f'}$.
Запрос. Позволять$I$ быть ненулевым идеалом $R$. Тогда у нас есть$$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_R(I) \vert \varrho(I)/R \vert \text{ with } \vert \varrho(I)/R \vert = c(q_I).$$
Доказательство. поскольку$N_R(xI) = N_R(Rx) N_R(I)$ и $N_R(Rx) = N_{\overline{R}}(\overline{R}x) = \vert N_{K/\mathbb{Q}}(x) \vert$ для каждого $x \in R \setminus \{0\}$, без ограничения общности можно считать, что $I$ примитивен, т. е. $e = 1$. Непосредственно из определений следует, что$$\overline{I} = \overline{R} I = \mathbb{Z}a + \mathbb{Z}a \omega + \mathbb{Z}(d + f \omega) + \mathbb{Z}v$$ где
$$v = \left\{ \begin{array}{cc} f \omega^2 + d \omega & \text{ if } m \not\equiv 1 \mod 4, \\ f \frac{m - 1}{4} + (d + f) \omega & \text{ if } m \equiv 1 \mod 4. \\ \end{array}\right.$$Теперь достаточно вычислить нормальную форму Смита. $\begin{pmatrix} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ матрицы $A \Doteq \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \\ d & f \\ v_1 & v_2 \end{pmatrix}$ где $(v_1, v_2)$ матрица $v$ с уважением к $\mathbb{Z}$-основа $(1, \omega)$ из $\overline{R}$. Коэффициент$d_1$ является наибольшим общим делителем коэффициентов при $A$ и легко увидеть $\gcd(a, d, f) = \gcd(a, b, c)$. Коэффициент$d_2$ является наибольшим общим делителем $2 \times 2$ несовершеннолетние $A$ деленное на $d_1$ и легко увидеть $\frac{a \gcd(c(q_I), q_I(0, 1))}{d_1} = \frac{a c(q_I)}{d_1}$. Таким образом$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = d_1 d_2$ имеет желаемую форму.
[1] Дж. Салли и В. Васконселос, «Стабильные кольца», 1974.
[2] К. Грейтер, «О проблеме двух образующих для идеалов одномерного кольца», 1982.
[3] Л. Леви и Р. Виганд, "Дедекиндово поведение колец с$2$-порожденные идеалы », 1985.
[4] Д. Эйзенбуд,« Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии », 1995.
[5] Т. Ибукияма и М. Канеко,« Квадратичные формы и идеальная теория квадратичных полей », 2014 г. .
Я записываю для пользы других то, что мне известно, и все, что известно об общей проблеме. Люк Гайо дал хороший и явный ответ на случай квадратичных порядков.
Я не помечаю этот пост как «ответ», так как на исходный вопрос еще нет ответа.
Пусть расхождение в а$T$-идеальный $I$ быть определенным как $ds(I) = N_{\overline{T}}(\overline{I})/N_T(I)$ (нестандартное определение).
Когда $ds(I) = 1$?
Следующая теорема является основным инструментом статьи [1]. В заявлении используется обозначение индекса модуля из [2].
Теорема [1; Теорема 1]:
- $[\overline{T}:\overline{I}] \subset [T:I]$.
- $[\overline{T}:\overline{I^{-1}}] \subset [I:T]$.
- $[{T}:{I^{-1}}] \subset [\overline{I}:\overline{T}]$.
Более того, следующие эквиваленты:
- Любое отношение подмножества из (1), (2), (3) является равенством.
- Все отношения подмножества среди (1), (2), (3) являются равенством.
- $I$ обратимо.
Эта теорема имеет следующие следствия для «несоответствия». Напомним , что отличается от$T$ определяется как $\mathfrak D_{T} = (T^\vee)^{-1}$ где $T^\vee$ является двойником $T$ для формы следа.
Следствие :$ds(I) \geq 1$ с равенством тогда и только тогда, когда $I$ обратимо.
Следствие : Следующие утверждения эквивалентны:
- Несоответствие $\mathfrak D_{T}$ является $1$.
- Для каждого идеала $I$ из $T$, $ds(I) = 1$ если и только если $T = (I:I)$.
- $T$ - Горенштейн.
Все в этих следствиях непосредственно следует из теоремы, за исключением второго пункта второго следствия, которое следует из известной эквивалентности $T=(I:I) \iff I \text{ invertible}$ когда $T$ горенштейново (ср., например, [3; предложение 5.8] или [4; предложение 2.7]).
Квадратичный случай
[Следуя обозначениям в ответе Люка Гайо]
Используя приведенные выше следствия, мы вернемся к квадратичному случаю. Дискрепанс инвариантен относительно гомотетий, поэтому мы можем считать идеал$I$ примитивен ($e = 1$). По [5; Лемма 6.5] идеал$I$ удовлетворяет $R = (I:I)$ если и только если $\gcd(a,b,c) = 1$. Действительно, формула расхождения в ответе Люка Гайо в точности такова.$\gcd(a,b,c)$. (Согласно замечанию в ответе Люка Гайо, у нас даже есть$ds(I) = f/f'$ где $f$ дирижер $T$ и $f'$ дирижер $(I:I)$.) Таким образом, формула $ds(I) = c(q_I)$ согласуется со вторым следствием.
Верхняя граница
Получим оценку сверху для $ds(I)$ который не зависит от $I$. Я предполагаю что$T$это область простоты. Можно предположить, что$T \neq \overline{T}$ и установить $S = \overline{T}$. Позволять$\mathfrak f$ обозначают проводника $T$.
Верхняя граница : для любого T-дробного идеала.$I$, $ds(I) \leq |S/T||S/\mathfrak f|.$
Два $T$-фракционные идеалы принадлежат к одному роду, если они локально изоморфны; эквивалентно, существует обратимый T-идеал, который перемножает один идеал на другой.
Претензия : Любая$T$-фракционный идеал $I$ принадлежит к тому же роду, что и $T$-фракционный идеал $J$ такой, что $\mathfrak f \subset J \subset S.$
Доказательство: Пусть $P$ быть главным идеалом $T$ и разреши $S_P$ обозначают интегральное замыкание $T$(интегральное замыкание коммутирует с локализацией). Достаточно построить$T_P$-фракционный идеал, изоморфный $I_P$ такой, что $\mathfrak f_P \subset J_P \subset T_P$ где нижний индекс обозначает тензор с $T_P$. $S_P$конечное произведение локальных колец Дедекинда, поэтому это PID. Следовательно$I_PS_P = \alpha S_P$ для некоторых $\alpha$ в $Quot(T)$. Позволять$J_P = \alpha^{-1}I_P$. потом$J_P \subset S_P$, но также $$J_P \supset J_P \mathfrak f_P = J_P S_P \mathfrak f_P = \mathfrak f_P.$$
Заявление : несоответствие$ds(I)$ постоянно по родам.
Доказательство: это доказывается путем локализации и использования обратимого идеала $T$ является локально главным (последний факт следует из [5; предложение 2.3]).
Объединив эти утверждения, у нас есть это для $I$ Любые $T$-фракционный идеал, $ds(I) = ds(J)$ для некоторых $T$-фракционный идеал $J$ такой, что $\mathfrak f \subset J \subset S$. От 1; Теорема 1],$|T/J| \leq |S/SJ|$. У нас также есть$S\mathfrak f = \mathfrak f \subset SJ \subset S$, и так $|S/SJ| \leq |S/\mathfrak f|$. Написать$M' = M/\mathfrak f$ для любого модуля, содержащего $\mathfrak f$. Собирая неравенства, получаем
$$ds(I) = |S/SJ|/|T/J| \leq |S/\mathfrak f|/ |T/J| = |S'|/(|T'|/|J'|) = |S/T| |J/\mathfrak f| .$$
Последний член ограничен сверху соотношением $|S/T| |S/\mathfrak f|$.
Заключение
Функция невязки удовлетворяет неравенству $1 \leq ds(I) \leq |\overline{T}/T||\overline{T}/\mathfrak f|$, для любого $T$-фракционный идеал $I$, и допускает явную и естественную формулу в терминах проводников в квадратичном случае. Однако, по-видимому, неизвестно, можно ли придать функции несоответствия «замкнутую форму» в целом (например, выражение в терминах проводника$T$, дифференциалы или дискриминанты $T$ и $\overline{T}$, Ext или Tor группы $T$ или же $\overline{T}$).
Использованная литература:
[1] И. Дель Корсо, Р. Дворничич, Отношения между дискриминантами, разными и руководителями порядка , 2000.
[2] А. Фрёлих, Локальные поля , из Дж. С. Касселса и А. Фрёлиха, Алгебраическая теория чисел , 1967.
[3] Л. Леви, Р. Виганд, Дедекиндово поведение колец с 2-порожденными идеалами , 1985.
[4] Дж. Бухманн, Х. В. Ленстра мл., Аппроксимирующие кольца целых чисел в числовых полях , 1994.
[5] В.М. Галкин, $\zeta$-функции некоторых одномерных колец , 1973.