Идеально на $\mathbb{N}$ с определенной собственностью
Позволять $\mathcal{I}$ быть идеалом на $\mathbb{N}$который содержит все конечные множества и хотя бы один бесконечный набор. Определить фильтр
$\mathcal{F}:=\{D\subseteq\mathbb{N}\mid \forall A\in\mathcal{I},A\cap D^{c}\text{ is finite, or equivalently} A\subseteq^{*}D\}$.
$\mathcal{F}$ содержит cofinite фильтр, и кажется, что если $\mathcal{I}$ тогда простое $\mathcal{F}$больше ничего не содержит. Верно ли обратное? Другими словами, предположим, что идеал обладает свойством P, если соответствующий фильтр является конфинитным фильтром. P - это то же самое, что и простое число? Или существует простая характеристика P?
Кто-то предположил, что это то же самое, что просить $\mathcal{E}\subseteq(\mathcal{P}_{coinf}(\mathbb{N}),\subseteq^{*})$ который неограничен под $\subseteq^{*}$и порождает собственный непростой идеал. Я обнаружил, что ничего не знаю об этом посете. Каков его окончательный тип? Каковы его отношения с другими позами, такими как$(\mathbb{N}^{\mathbb{N}},<^{*})$?
Предыстория: я подумал, определим ли мы топологию на $\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ требуя, чтобы определенные последовательности сходились к $\infty$, будет ли больше (и какие) последовательности, сходящиеся к $\infty$чем мы ожидали. Также см. Этот вопрос.
Ответы
Дано $P_1,P_2$ неглавные простые идеалы на $\mathbb{N}$ с участием $P_1\neq P_2$, позволять $\mathcal{I}= P_1\cap P_2$. потом$\mathcal{I}$ - идеал, содержащий все конечные множества, но не простой (так как должны быть $A\subseteq \mathbb{N}$ с участием $A\notin P_1, A^c\notin P_2$).
тем не мение $\mathcal{I}$ удовлетворяет свойству P: для любого $D$ не cofinite, мы можем разделить $D^c$ в $4$ бесконечные кусочки: $D_{11,}D_{12},D_{21},D_{22}$. потом$D_{i1}\cup D_{i2}\in P_1$ для некоторых $i$ и $D_{1j}\cup D_{2j}\in P_2$ для некоторых $j$. Таким образом$D_{ij}\in \mathcal{I}$ и $D_{ij}\cap D^c=D_{ij}$ бесконечно.
Позволять $X$ - максимальное почти непересекающееся семейство подмножеств $\mathbb{N}$, и разреши $\mathcal{I}$ быть идеалом, порожденным $X$. потом$\mathcal{F}$ будет кофинитным фильтром: если $D\in\mathcal{F}$ тогда $D^c$ почти не пересекается с каждым элементом $X$, а значит, должен быть конечным по максимальности $X$. Тем не мение,$\mathcal{I}$не простое. Например, если взять два непересекающихся счетно бесконечных подсемейства$Y,Z\subset X$, то с помощью простого аргумента диагонализации можно построить $A\subset\mathbb{N}$ который почти содержит каждый элемент $Y$ и почти не пересекается с каждым элементом $Z$. потом$A\not\in\mathcal{I}$ поскольку каждый элемент $\mathcal{I}$ имеет бесконечное пересечение только с конечным числом элементов $X$, и $A^c\not\in\mathcal{I}$ по той же причине.