Интеграция $\text{sech}(x)$ используя метод гиперболической замены

Question

Мне было поручено найти $\int{\text{sech}(x)dx}$ используя как гиперболические, так и триггерные замены, для метода триггерной замены я сделал следующее. $$I=\int{\frac{2e^x}{e^{2x}+1}dx} $$ $$\text{Let} \space u=e^x \implies dx=\frac{1}{e^x}du $$ Затем применяя первую замену и используя триггерную замену $u=\tan(t)$: $$\therefore I=\int\frac{2u(\frac{1}{u})}{u^2+1}du \iff \int\frac{2}{u^2+1}du$$ $$\text{Let}\space u=\tan(t) \implies du=\sec^2(t)dt$$ И упрощая: $$\therefore I=2\int{\frac{\sec^2(t)}{tan^2(t)+1}dt \iff 2\int{1dt}}$$ $$I=2t$$ И, наконец, повторная замена переменных, чтобы вернуть его в терминах $x$: $$\because t=\arctan(u) , \space u=e^x$$ $$\therefore I=2\arctan(e^x) + c$$

Что проверяет альфа-вольфрам, однако для гиперболических замен я пробовал использовать $u=\text{sinh}(t)$ который просто возвращает исходный интеграл:

$$\text{Let} \space u=\text{sinh}(t) \iff du=\text{cosh}(t)dt$$ $$\therefore I=2\int{\frac{\text{cosh}(t)}{\text{sinh}^2(t)+1}dt} \iff 2\int{\frac{1}{\text{cosh}(t)}dt}$$

Я также пробовал использовать замену $u=\text{csch}(t)$ что также привело к исходному интегралу, насколько мне известно, не существует других полезных гиперболических замен, которые можно было бы выполнить с этим интегралом.

Я допустил ошибку при интеграции или мне не хватает другой полезной замены, которую можно выполнить здесь?

Answer 1

Обратите внимание, что для любого $ x\in\mathbb{R} $, $ \cosh{x}=\frac{\cosh{\left(2\times\frac{x}{2}\right)}}{1}=\frac{\cosh^{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}+\sinh^{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}}{\cosh^{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}-\sinh^{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}}=\frac{1+\tanh^{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}}{1-\tan^{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}} $.

Подстановка $ \left\lbrace\begin{matrix}y=\tanh{\left(\frac{x}{2}\right)}\\ \mathrm{d}x=\frac{2\,\mathrm{d}y}{1-y^{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. $, мы получаем : \begin{aligned}\int{\frac{\mathrm{d}x}{\cosh{x}}}&=2\int{\frac{\mathrm{d}y}{1+y^{2}}}\\&=2\arctan{y}+C\\&=2\arctan{\left(\tanh{\left(\frac{x}{2}\right)}\right)}+C\end{aligned}