Интеграл следа и теорема расходимости

Question

Я обнаружил следующее равенство в статье, которую читаю, и застрял, потому что не могу его проверить.

У нас есть бездивергентное гладкое векторное поле $V \colon \mathbb T^N \to \mathbb T^N$определен на торе. Утверждается, что$$ \int_{\mathbb T^N} \text{Tr}[(V \otimes V) \cdot \nabla V] \, dx = 0 $$ где $dx$стандартная мера Лебега на торе. Моя единственная идея проверить это - прибегнуть к некоторому использованию интегрирования по частям и теоремы о расходимости: «след», появляющийся в интеграле, должен быть сведен к расхождению некоторой величины (используя тот факт, что$\text{div } V = 0$), и тогда заключение действительно следует из теоремы о расходимости (поскольку мы находимся на торе).

Однако что-то ломается: в 2D явное вычисление говорит мне, что подынтегральное выражение равно $$ v_1^2 \partial_1 v_1 + v_2^2 \partial_2v_2 + v_1v_2 (\partial_1 v_2 + \partial_2 v_1) $$ (с очевидными обозначениями для производных и $V=(v_1,v_2)$), и я не могу описать это как расхождение чего-либо, даже не используя интеграцию по частям или тот факт, что $\partial_1 v_1 = - \partial_2 v_2$.

Я чувствую, что должен быть какой-то простой (общий?) Трюк, но после ночи вычислений я сдаюсь. Спасибо за вашу помощь.

Answer 1

Рассмотрим следующие векторные поля: $$X = |V|^2 V = \sum_j V_j^2 V$$ на $\mathbb T^N$. Тогда по теореме о расходимости$$\int_{\mathbb T^N} \operatorname{div} (X) = 0.$$ поскольку

\begin{align} \operatorname{div} (X) & = \operatorname{div} (|V|^2 V) \\ &= \sum_i \nabla_i (|V|^2 V_i) \\ &= 2 \sum _{i,j} (\nabla_i V_j) V_j V_i + |V|^2 \sum_i \nabla_iV_i \\ &= 2 \sum_{i,j} V_i V_j \nabla_i V_j \\ &= 2\operatorname{tr} ( V\otimes V, \nabla V), \end{align}

получить результат.

Answer 2

Итак, интегрируя по частям и используя тот факт, что $\nabla\cdot v=0$ у тебя есть $$ \int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\otimes v)\cdot\nabla v) = -\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}(\nabla\cdot(v\otimes v) \otimes v) = - 0 -\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\cdot\nabla v) \otimes v) = -\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\otimes v)\cdot\nabla v) $$ так $$ 2\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\otimes v)\cdot\nabla v) = 0. $$